Utkast

Jag ska göra ett försök att förklara den allmänna relativitetsteorin, som är betydligt mer avancerad än den speciella.
Jag skulle kunna tala om differentialgeometri, topologiska rum, riemannska mångfalder, tensorfält, Einsteins icke-linjära fältekvationer, rumtidens krökning, geodeter och den kosmologiska konstanten.
Och du skulle inte förstå ett ord av vad jag sa – mest beroende på att jag själv inte förstår någonting.

Därför är det bättre att förklara en kraftigt förenklad version med massor av liknelser – men ha alltid i bakhuvudet att förenklingar och liknelser är just vad de låter som och inte “the real thing”.

Men först: jag förutsätter att du har en viss förståelse av den speciella relativitetsteorin. Glöm tanken att ens få en rudimentär förståelse av den allmänna, om du inte klarar den speciella relativitetsteorin.

Låt oss börja från början, med det tankeexperiment som fick Einstein på rätt spår mot den allmänna relativitetsteorins lösning.
Tänk dig en skyskrapa. Tänk dig en fönsterputsare högt upp utanför skyskrapan. En fönsterputsare som förlorar fotfästet och faller mot marken: hur upplever han världen under fallet?
Einsten har själv beskrivit detta makabra tankeexperiment som det lyckligaste ögonblicket i hans liv. En riktig Heureka¹-upplevelse!

¹ Den gamle greken Arkimedes ska ha utropat “heureka!” (jag har funnit det) för c:a 2300 år sedan, när han kom på hur man kan mäta volymen på ett oregelbundet föremål genom att sänka ner det i vatten och se hur mycket vattenytan stiger – vilket INTE är Arkimedes princip.

Vad var det för snilleblixt som Einstein fick?
Om man är i ett rum utan fönster kan man inte avgöra om rummet står still på jorden, eller om rummet befinner sig på ett rymdskepp som accelererar i 9,81 m/s², vilket är precis lika mycket som gravitationen här på jorden.
Eller uttryckt på ett annat sätt:
Om man befinner sig i ett rum utan fönster och plötsligt blir tyngdlös, kan man inte avgöra om rummet är en hiss som fått kablarna avklippta och faller mot marken, eller om rummet är på rymdskeppet som plötsligt stängt av sina motorer så man slutar accelerera och börjar röra sig i konstant hastighet.
Det enda Einstein gjorde var att expandera Galileos invariansprincip och sitt eget första postulat till den speciella relativitetsteorin med faktumet att det inte finns något sätt att skilja mellan gravitation och acceleration.

Kort sagt: det är ingen skillnad på en person som faller från en skyskrapa jämfört med fritt fall på den internationella rymdstationen IIS.
Detta var en fullständigt häpnadsväckande slutsats. Speciellt om man betänker att den gjordes bara ett par år efter bröderna Wright gjorde sin första flygtur och nästan 100 år innan den internationella rymdstationen ens byggdes.

Även om det här är avancerad fysik, sammanfattade fysikern John Wheeler det väldigt enkelt: rumtiden talar om för materian hur den skall förflytta sig, materian talar om för rumtiden hur den skall kröka sig.
OK, vi har en vag uppfattning om vad rumtiden är för något, men vad innebär det att rumtiden kröker sig?

Newtons första rörelselag säger: En kropp förblir i vila eller i likformig rörelse så länge vektorsumman av alla yttre krafter som verkar på kroppen är noll, eller specialfallet då inga krafter alls verkar på kroppen.
Kort sagt: skjuter man iväg ett rymdskepp ut i rymden och stänger av dess motoer, kommer det fortsätta rakt fram i evighet, eller till Universum slutar existera.

Ta en toarulle och lägg den på sidan på ett bord. Toarullen kan beskrivas som en cirkel och bordet kan beskrivas som tangenten till cirkeln. En tangent är en rak linje som precis rör en cirkel, så tangenten är vinkelrät mot cirkelns radie (en radie som i det här fallet går från toarullens mitt rakt ner till bordet).

Du sitter på en karusell. Det kan liknas vid att du är en punkt på sidan av en cirkel som roterar. Din kropp vill röra sig rakt fram i tangentens riktning enligt Newtons första rörelselag, men det kan den inte. Den utsätts för en kraft vinkelrätt mot tangenten, en kraft som hela tiden pekar mot cirkelns mitt (kraften har samma riktning som cirkelns radie).
Detta förklarar både hur en karusell fungerar, hur jorden rör sig runt solen och hur månen rör sig runt jorden.

Säg att du kastar iväg ett föremål. Föremålets bana kommer att bilda en parabel (i praktiken en upp-och-nedvänd x²-kurva). Rita jorden som en stor cirkel på ett papper och du själv är en liten punkt på cirkelns ovansida. Rita nu ut olika banor från föremål som du kastar med olika kraft, så de får olika utgångshastighet och kommer olika lång innan de faller ner på jorden igen.
Vad händer om du kastar tillräckligt hårt? Jo, när föremålet faller så “missar” det jorden och fortsätter “falla” i en omloppsbana runt jorden där det ständigt accelererar mot jordens mitt, men då accelerationen är i en rät vinkel till färdriktningen (tangenten) kommer hastigheten aldrig öka, utan föremåket kommer att befinna sig i en stationär cirkulär bana runt jorden.

Newton var ett geni! Men enligt Einstein hade Newton fel.

H.P. Lovecraft skrev ofta om icke-euklidiska geometrier. Han hade antagligen hört att den moderna fysiken använde icke-euklidisk geometri, men han hade ingen aning om vad det var och tyckte at det lät kusligt, obegripligt, och därför utmärkt att ha med i sina berättelser.
Icke-euklidisk geometri är inte alls obegriplig, men innan vi förklarar det är det bäst att börja med att förklara vad euklidisk geometri är för något.

Euklides var en gammal grek som levde för 2300 år sedan. Han var matematiker och skrev ett verk om 13 böcker, kallat Elementa, där han beskrev all matematik som man kände till på den tiden. Verket var så viktigt och välskrivet att det användes som lärobok ända in på 1900-talet. Det viktigaste är Euklides 5 postulat som tar upp självklara saker inom geometri: som att man kan dra en rak linje mellan två punkter.
Det är Euklides femte postulatet som ställer till problem. det är inte alls lika enkelt och självklart som de fyra första och matematiker har i över 2000 år försökt förenkla det, eller rationalisera bort det.

Euklides femte postulat:
Dra två raka linjer. Dra en tredje linje som korsar de två första. om vinklarna mellan den tredje linjen och de två första är mindre än räta vinklar (90 grader), så kommer de två första linjerna förr eller senare att korsa varandra. Detta brukar kallas parallellpostulatet och låter väldigt komplicerat. Låt oss formulera om det så det blir enklare:
Dra två linjer. Dra en tredje linje som korsar de två första. Om den tredje linjen korsar de två första i räta vinklar, är de två första linjerna parallella och kommer aldrig korsa varandra, samt avståndet mellan dem kommer altid vara konstant.
Eller ännu enklare: två linjer är parallella om avståndet mellan dem är konstant och aldrig ändras.

Det femte postulatet är grunden till euklidisk geometri: om man har ett oändligt stort skrivbord kan man dra två oändligt långa parallella linjer och avståndet mellan dem kommer aldrig att ändras.
Det låter självklart, eller hur?
Hur skulle man ens kunna dra två parellella linjer så att avståndet ändras?
Det är just det som är icke-euklidisk geometri och faktum är att vi funnit två olika lösningar.

Den första lösningen är så enkel att man undrar varför ingen tänkte på det tidigare: sfärisk geometri.
Ta en vanlig jordglob, med latituder och longituder utritade.
Latituder är de vågräta linjerna som går runt jorden parallellt med ekvatorn, de är inte problemet.
Problemet är longituderna: de lodräta linjerna som korsar ekvatorn. Eftersom latituder korsar ekvatorn i räta vinklar, är två latituder parallella med varandra enligt Euklides femte postulat.
Men vad händer om man följer två parallella longituder uppåt (eller nedåt)? jo, de möts vid nordpolen (eller sydpolen). De korsar varandra, vilket de inte kan göra enligt Euklides.
Kort sagt, vår egen planet, jorden, har en yta som är icke-euklidisk.

Den andra lösningen är lite mer komplicerad att förstå: hyperbolisk geometri.
Om sfärisk geometri kan beskrivas som att vi har ett maximalt avstånd mellan två parallella linjer vid ekvatorn, sedan minskar avståndet mellan linjerna, tills de korsas vid polerna – så är hyperbolisk geometri motsatsen: vi har ett minimalt avstånd mellan två parallella linjer, som sedan ökar i bägge riktningar.
Ta en cirkel: böj upp två motsatta sidor, som ett tacoskal, böj sedan ner de två andra sidorna, som ett pringelschips, eller hästsadel. Du kommer att finna att två parallella linjer alltid rör sig bort från varandra på en sån yta.
Konstnären M.C. Echer tyckte om att rita hyperboliska ytor:
https://web.colby.edu/thegeometricviewpoint/2016/12/21/tessellations-of-the-hyperbolic-plane-and-m-c-escher/
Och det går även att virka hyperboliska grytlappar:
https://rovingcrafters.com/2015/09/27/making-hyperbolic-crochet/

Ett annat sätt att skilja mellan plana (euklidiska) ytor och icke-euklidiska sfäriska och hyperboliska ytor är att se på vinkelsumman för en triangel.
I skolan får man lära sig att vinkelsumman för en triangel alltid är 180 grader, en fyrkant 360 grader, en femhörning 540 grader, o.s.v. Men detta gäller bara för euklidisk geometri.
Ta fram jordgloben igen, sätt en penna på globen där en latitud korsar ekvatorn i en 90 graders rät vinkel. Dra ett streck längs latituden mellan ekvatorn och nordpolen, gör sedan en 90 graders rät vinkel uppe vid nordpolen och dra ett streck längs den nya latituden, ner tills latituden korsar ekvatorn i en 90 graders rät vinkel. Dra en tredje linje längs ekvatorn mellan de två latituderna som korsar ekvatorn.
Vad är det sm du ritat? Jo, tre raka linjer som korsar varandra.
Och vad kallar man det? En triangel.
Och vad är vinklarna i varje hörn på triangeln? De är 90 graders räta vinklar.
Och vad blir vinkelsumman på triangeln på jordgloben? 90 + 90 + 90 = 270 grader – det är mer än 180 grader som Euklides säger att alla trianglar ska ha.

För att sammanfatta: vinkelksumman för en triangel är alltid 180 grader på en plan euklidisk yta, är alltid mer än 180 grader på en sfärisk icke-euklidisk yta, är alltid mindre än 180 grader på en hyperbolisk icke-euklidisk yta.

Tillbaks till den allmänna relativitetsteorin med en liknelse.
Säg att vi har en stor elastisk yta, t.ex. en studsmatta. Detta representerar den plana rumtiden.
Säg att vi lägger något tungt, t.ex. ett bowlingklot, mitt på studsmattan. Detta representerar solen i vårt solsystem.
Observera att bowlingklotet pressar ner studsmattan lite, det har blivit en “grop” i studsmattan där bowlingklotet ligger. Den plana ytan som studsmattan var från början har krökts och oavsett på vilken sida av studsmattan du står lutar nu studsmattan lite nedåt mot bowlingkoltet. Detta representerar rumtidens krökning runt solen. Den platta euklidiska rumtiden har blivit en krökt sfärisk icke-euklidisk yta.
Säg att vi tar något litet runt, t.ex. en golfboll, eller pingisboll. Detta representerar jorden.
Om vi nu sätter fart på golfbollen längs sidan av studsmattan, kommer den först gå rakt fram, men sedan “falla” in mot bowlingklotet i en cirkulär bana. Detta representerar jordens bana runt solen.

Observera skillnaden mellan Newtons och Einsteins synsätt.
Enligt Newton vill jorden gå i en rak linje (tangent), men jordens bana böjs av solens gravitation och börjar accelerera mot solen i en omloppsbana.
Enligt Einstein så går jorden i en rak linje, men själva rumtidens krökning gör att den raka linjen böjs av runt solen i en omloppsbana. Inom relativitetsteorin kallas dessa “raka” linjer som kan böjas för tidslinjer eller geodeter.

Säg att vi faller från en skyskrapa.
Enligt Newton accelererar vi mot jordens yta.
Enligt Einstein är det jordens yta som accelererar mot oss.
Hur kan det vara så?
Einstein säger att man inte kan skilja på acceleration och gravitation. Och hur upplever du acceleration?
Säg att du sitter i en bil som accelererar från 0 till 100 på 3 sekunder, vad upplever du?
Att bilstolen, som du sitter i, accelererar framåt, vilket resulterar i att du pressas bakåt.
Bilstolen rör sig snabbare än dig och tvingar dig framåt och du upplever det som att du pressas bakåt.
Acceleration är en kraft. I vårt exempel motsvarars kraften av bilstolen. Kraften från bilstolen tvingar dig att öka hastighet, du accelererar.
Det var ett komplicerat sätt att säga något självklart. Det viktiga är att acceleration framåt upplevs som att du pressas bakåt.
Nu kommer bilen till en bergvägg som går rakt. Det här är dock en speciell bil som kan åka rakt upp på väggar så det är inte ett problem. Du får plötsligt en upplevelse som är häftigare än en berg-o-dalbana.
Plötsligt stannar bilen halvvägs upp längs bergväggen. Vad upplever du?
Du upplever hur du i princip ligger i bilstolen och tittar rakt upp mot himlen. Du upplever också att du har väldigt svårt att ta dig upp från bilstolen, även om du skulle lossa bilbältet så hålls du kvar i stolen av gravitationen.
Du upplever det som om du pressas bakåt i bilstolen, precis som när vi accelererade. Det är inte så konstigt då Einstein säger att vi inte kan skilja på acceleration och gravitation.
Det som däremot är konstigt är slutsatsen vi drar:
På vägen trycktes vi bakåt för att bilstolen accelererade framåt.
På bergsväggen trycks vi också bakåt av gravitationen, men det är fortfarande som om bilstolen accelererade framåt, d.v.s. uppåt.

Även om vi tycker att vi accelererar nedåt när vi faller så är det rent matematiskt så att det är marken som accelererar uppåt mot oss. Det är nämligen enda sättet som acceleration och gravitation kan upplevas på samma sätt (vilket de gör).

Stora massor kröker rumtiden, rumtiden går från att vara euklidiskt plan till icke-euklidiskt sfärisk, som en studsmatta där det ligger ett bowlingklot.
Men vår jordglob, där vi ritade trianglar, är också icke-eukluidiskt sfärisk.
Nu placerar vi två myror vid ekvatorn på jordgloben, de går sedan längs varsin latitud upp mot nordpolen där de möts. Latituderna kan liknas med myrornas tidslinjer, deras geodeteter. Detta motsvarar att jorden förvandlats till ett svart hål och att du och jag faller mot jordens mitt.
Men nu är jorden inte ett svart hål, utan vi står stadigt på jorden yta utan att falla. Detta motsvarar as av att vi placererar en liten pinne mellan myrorna. De går på sina latituder/tidslinjer, som närmar sig varandra ju närmare de kommer nordpolen på jordgloben. Men sedan gör pinnen mellan dem att de inte kan röra sig närmare varandra. Avståndet mellan myrorna minskar inte längre, utan förblir konstant. Hur upplever myrorna detta?
Jo, d tycker att de går spikrakt fram längs sina tidslinjer, sedan kommer pinnen och pressar dem åt sidan. Det är som pinnen “accelererar” mot dem och trycker dem utåt. Eftersom de vill gå längs latituderna så känns det som om de pressas mot pinnen.
Den vänstra myran tycker att pinnen accelererar åt vänster, den högra myran tycker att pinnen accelererar åt höger. Men pinnens längd ökar inte, den förblir konstant. På samma sätt upplever vi att jorden accelererar upp mot oss. Det betyder inte att jorden blir större, bara att våra tidslinjer pekar spikrakt mot jordens centrum och jordytan hindrar oss att gå dit våra tidslinjer pekar.

Men gravitationen inom allmänna relativitetsteorin orsakar även effekter vi känner igen från den speciella relativitetsteorin: längdkontraktion och tidsdilatition. Den speciella relativitetsteorin är ju ett specialfall av den allmänna, så det skulle vara konstigt om den allmänna inte kunde förklara tidsdilatition.

Vi vet sedan Newtons dagar att gravitationen minskar med avståndet i kvadrat.
Vi vet också att enligt Einstein förklaras gravitation av att en massa kröker rumtiden. Ju närmare man kommer en stor massa, desto mer kröks rumtiden, alltså upplever vi mer gravitation ju närmare vi kommer massan.
Det betyder också att våra fötter där nere upplever lite mer gravitation än våra huvuden här uppe. Det må vara så liten skillnad i gravitation att den knappt är mätbar mellan fötterna och huvudet, men skillnaden finns där.

Det är även så att högre gravitation ger mer tidsdilatition (har högre Gamma). Det betyder också att tiden går lite långsammare nere vid våra fötter än uppe vid huvudet, men det är knappt mätbart.
Dock är det denna lilla skillnad som orsakar att tidslinjer böjs av och att planeter går i omloppsbana runt solen.

Säg att solen motsvaras av ett högt torn.
Runt tornet finns massor med runda racerbanor, det motsvarar planetbanorna.
På varje racerbana finns en racerbil, det motsvarar planeterna.
Nu är racerbilarna lite felbalanserade så hjulen på insidan mot tornet roterar lite långsammare än hjulen på utsidan.
Vet du vad som händer om man har något fordon där alla hjulen inte snurrar lika snabbt? Har du någon gång kört kundvagn i en butik, där ett av hjulen inte snurrar? Hela vagnen drar åt det hjulet!
Samma sak med racerbilarna: går innerhjulen lite långsammare kommer bilen “dra” innåt trots att racerföraren styr rakt fram. Resultatet blir att racerbilen går i en cirkel runt tornet.

Vad Einstein säger är att tiden går lite långsammare för den sida på jorden som vätter mot solen, än sidan som vätter bort mot solen, det räcker för att hela jordens tidslinje ska “dra” runt solen.
Faktumet att om man släpper en liten ärta så faller den mot jorden, för att tidsdilatitionen gör att tiden går lite långsammare på den sidan av ärtan som vätter mot jorden än den som vätter från.

Gravitation är en direkt effekt av tidsdilatition, som i sin tur är en direkt effekt av det krökta rumtiden kring en massa, som böjer andra massors tidslinjer.

En paradox brukar bestå av ett eller flera påståenden som var för sig är sanna, men som tillsammans bildar något som låter motsägelsefullt eller fel.
Inom fysiken brukar man tala om veridiska paradoxer, där veridisk är samma ord som i latinska “in vino veritas” som betyder i vinet kommer sanningen fram, d.v.s. de som dricker vin blir fulla och då brukar de tala sanning.
En veridisk paradox är en paradox är alltså korrekt oavsett hur fel vi tycker den låter. Ett exempel på detta är tvillingparadoxen.
Men innan vi förklarar tvillingparadoxen tänkte jag förklara några enklare paradoxer för att man lättare ska förstå tvillingparadoxen. Den första är så enkel att den inte ens betraktas som en paradox.

Ljusklockan

En moraklocka fungerar så att en pendel svänger fram och tillbaka och varje gång pendeln svänger rör sig ett kugghjul en liten bit och klockan “tickar”.
En ljusklocka består av två speglar mitt emot varandra, sen låter man en ljusstråle studsa mellan speglarna och varje gång ljusstrålen träffar en spegel är ett “tick” (nej, ljusklockor finns inte på riktigt).
Nu är det inte så viktigt vilket avståndet är mellan speglarna, men för att ni ska kunna visualisera hur det ser ut står speglarna c:a 30 cm från varandra. Närmare bestämt 29,9792458 cm. Om avståndet ser bekant ut beror det på att de är ljusets hastighet. Mer korrekt: 30 cm är en biljondel av vad ljuset förflyttas på en sekund. Klockan tickar varje biljonte sekund (varje nanosekund på fysikerspråk), det blir en biljon tick i sekunden.

För att ni ska kunna visualisera: tänk er att Adam står längst ner på datorskärmen, nere på jorden. Och Bertil flyger i ett rymdskepp från vänster till höger högst upp på skärmen. Bertil rör sig 0,87 c, så Gamma är 2.
Gamma 2 gör att Adam tycker att Bertils skepp är hoptryckt i färdriktningen (vänster-höger), men inte i några andra riktningar. Adam tycker också att Bertils klocka går hälften så fort.
Bertil tycker tvärt om: allt är som vanligt på skeppet, men Adam ser väldigt platt ut och Adams klocka går hälften så fort.
Det här är precis samma situation som vi beskrivit ett par gånger tidigare, men nu finns en liten skillnad: Adams och Bertils klockor är ljusklockor. Ljusklockorna står dessutom så att ljusstrålen går upp-ner, inte vänster-höger som Bertils skepp. Det betyder att ljusklockorna är inte utsatta för längdkontraktion. Bägge tycker att varandras klockor är 30 cm höga. Hade klockorna varit placerade så ljuset gick vänster-höger hade de tyckt att varandras klockor bara var 15 cm breda.

Paradoxen består i att om Adam tycker att Bertils klocka går hälften så fort betyder det att Adams klocka hinner ticka två gånger när Bertils klocka tickar en gång. Det betyder att ljusstrålen i Adams klocka hinner upp-ner, 60 cm, när ljusstrålen på Bertils klocka bara hinner upp, 30 cm. Men vi vet samtidigt att Adam tycker att bägge klockorna är 30 cm höga och att ljuset rör sig lika snabbt för både Adam och Bertil. Något är fel.
Lösningen är enkel: vi ser hur Adam står längst ner på skärmen och hur Bertils skepp rör sig från vänster till höger på skärmen. Vi tycker också att när ljusstrålen i Bertils klocka rör sig upp-ner rör sig samtidigt skeppet (med Bertil och ljusklocka) från vänster till höger. Vi tycker att ljusstrålen rör sig i zick-zack över skärmen.

Låt oss kalla ljusklockornas höjd för 1 u. Om ljuset i Adams klocka hinner röra sig 1 u (bara upp), hur långt har skeppet hunnit? Jo, hastigheten är 0,87 c, så det har hunnit 0,87 u (vilket är c:a 26,1 cm).
Men nu var det ljuset i Bertils klocka som hade rört sig 1 u uppåt, då hade ljuset i Adams klocka hunnit röra sig 2 u och skeppet 2 * 0,87 u åt höger.
Hur långt har ljuset i Bertils klocka rört sig?
Antingen kan man räkna med Pythagoras sats (och då får man ett mer exakt värde om man räknar med 0,866 c).
Eller så kan man rita upp det på ett A3-papper: vrid pappret, dra ett lodrätt streck som är 30 cm (1 u). Dra sedan två vågräta streck efter varandra på vardera 26,1 cm (0,87 u) från undre ändan av det lodräta strecket. Dra sedan ett diagonalt streck från den övre ändan av det lodräta strecket till bortre ändan av det bortre vågräta strecket. det diagonala strecket är ett “zick” av det zick-zack-mönster som Bertils klocka bildar. Om du mäter diagonalen finner du att den är 60 cm lång, d.v.s. ett “zick” på Bertils klocka motsvarar ett “tick-tack” på Adams klocka.

Så: när Bertil tycker att ljuset i hans klocka rört sig 30 cm och tickat 1 gång, tycker Adam att ljuset i Bertils klocka har rört sig 60 cm under tiden 2 tick på Adams klocka, vilket också är 60 cm, d.v.s. ljuset rör sig i ljusets hastighet både för Bertil och Adam. Paradoxen är löst!

Stegen i ladan.

Vi har en stege som är 4 meter lång. Vi har en lada som är 2 m lång (det är mer en liten bod än en stor lada). Hur får vi plats med stegen i ladan?
Jo, Adam står vid ladan, beredd att stänga dörrarna. Bertil kommer springande med stegen i 0,87 c, det är Gamma 2, så stegen blir hälften så lång, 2 m, och får plats i ladan. När stegen är inne i ladan kan Adam stänga dörrarna.

Vi gör om paradoxen lite.
Vi har en järnväg. På järnvägen har vi en tågdepå, det är som ett tåggarage. Adam står mitt i tågdepån är 20 m lång och man kan köra in tågvagnar som är exakt 20 m långa. Bertil är på ett tåg som består av 2 vagnar, d.v.s. 40 m långt som kör i 0,87 c. Det är Gamma 2 så det 40 m långa tåget blir hälften så långt och får plats i den 20 m långa depån så Adam kan stänga portarna med ett knapptryck mitt i depån.
Håller ni med om att det är samma paradox och det enda jag gjort är att multiplicera alla längder med 10?

Bertil står mitt emellan tågvagnarna (kära barn, stå aldrig mitt emellan två tågvagnar, speciellt inte på ett tåg som rör sig i 0,87 c).
Bertil tycker att allt är normalt på tåget, istället är det Adam och tågdepån som är hälften så långa i färdriktningen. Det betyder att Bertil tycker att tågdepån bara är 10 m lång där det ska få plats ett 40 m långt tåg i.

Kom ihåg detta:
Adam står bredvid en 20 m lång tågdepå och tycker att ett 40 m långt tåg som kör i 0,87 c blir hälften så långt och därför får plats.
Bertil står på ett 40 m långt tåg och ser hur en 20 m lång tågdepå kommer mot honom i 0,87 c och därför blir hälften så lång och därför bara blir 1/4 av tågets längd.
Tänk på att Adams och Bertils längdkontraktion multipliceras med varandra: 2*2 = 4, därför tycker Adam att tåget får plats, medan Bertil tycker att bara 1/4 får plats.
Hade tågets hastighet varit 0,94 c hade Gamma varit 3, som multipliceras med sig själv: 3*3 = 9, d.v.s. Bertil hade tyckt att bara 1/9 av ett tåg med 3 vagnar hade fått plats.

Bertil tänder en lampa mitt emellan vagnarna och tycker att ljuset när fram till början av tåget samtidigt som ljuset når fram till slutet av tåget, för det är 20 till bägge ändar om man står mitt i tåget.
Men vad ser Adam?
Nu ska vi göra något som man INTE får göra inom relativitetsteorin. Tänk på att detta stämmer ur Adams synvinkel, men inte ur Bertils.
Nu byter vi ut de två tågvagnarna mot tre bilar som kör mot Adam och Bertil sitter i den mittersta. Istället för 0,87 c rör sig bilarna i mer normala 87 km/tim.
Plötsligt ser Adam hur en fjärde bil försöker köra om de tre bilarna i 100 km/tim. När den fjärde bilen passerar Bertil kan vi likna det vid att Bertil tänder lampan på tåget och att ljuset rör sig framåt. Hur lång tid tar det tills den fjärde bilen kört om alla bilar? Det tar lite tid, för den fjärde bilen rör sig bara 100 km/tim – 87 km/tim = 13 km/tim snabbare än de tre bilarna.
Plötsligt ser Adam hur en fjärde bil som möter de tre bilarna i 100 km/tim. När den fjärde bilen passerar Bertil kan vi likna det vid att Bertil tänder lampan på tåget och att ljuset rör sig framåt. Hur lång tid tar det tills den fjärde bilen kört förbi alla bilar? Det går jättesnabbt, för den fjärde bilen rör sig 100 km/tim + 87 km/tim = 187 km/tim mot den sista bilen.
För att sammanfatta: Bertil tänder lampa mitt i tåget och tycker ljuset når den främre delen av tåget samtidigt som det når den bakre. Det tycker inte Adam. Han tycker att ljuset når den bakre delen först, för ljuset och den bakre delen rör sig mot varandra. Han tycker att ljuset når den främre delen senare, för nu måste ljuset hinna ikapp tåget som rör sig framåt.

Vad händer om vi vänder på ovanstående?
Adam står mitt i tågdepån och tänder en lampa. Adam tycker att ljuset når de främre och bakre porten samtidigt i depån. Portarna har portlås som drivs av ljussensorer som stänger portarna när man lyser på dem. Om Adam tänder lampan vid precis rätt tillfälle kommer ljuset nå fram och stänga portarna precis när det ur Adams perspektiv 20 m långa tåget får plats i depån.
Men vad ser Bertil?
Han tycker att han är i vila och att det är Adam och depån som rör sig i 0,87 c mot honom och tåget.
Han tycker att när Adam tänder lampan kommer ljuset att nå den bortre porten först för de rör sig mot varandra. Och att ljuset når den närmaste porten senare för här måste ljuset komma ikapp porten som rör sig mot tåget.
Så Bertil tycker att tåget kör 10 meter in i den 10 meter långa depån när den främre porten stängs precis framför tåget, sedan kraschar tåget rakt genom porten och fortsätter ytterligare 30 meter innan den bakre porten stängs precis när sista delen av den bakre tågvagnen kör in i depån.

Som ni ser är ingen av dem överens om när någonting, utom att bägge säger att den främre porten stängs precis när den främre delen av tåget nåt fram till den främre porten. Och att den bakre porten stängs precis när den bakre delen av tåget passerar den bakre porten.
Paradoxen är löst!

Andromedaparadoxen

Denna paradox kallas även för Bells paradox, efter den irländske fysikern John Bell som kom på den på 1960-talet.
Adam sitter på en parkbänk mitt emellan två tidtagarur som startas med ljussensorer. I sin hand har han en lampa som han kan tända. Han tänder lampan, ljuset rör sig mot tidtagaruren, när ljuset från lampan träffar tidtagaruren börjar de ticka. Han tycker att klockorna börjar ticka samtidigt.
Nu kommer Bertil joggandes från vänster genom parken. Precis när Bertil passerar Adam trycker denne på knappen och säger: “se, tidtagaruren började ticka samtidigt”. Bertil svarar: “Nä det bortre tidtagaruret började ticka lite tidigare”.
Det här är exakt samma upplägg som paradoxen ovan, förutom att det är mindre avstånd och mycket lägre hastighet. Bertil kommer att tycka att skillnaden mellan de två tidtagaruren ligger i storleksordningen en femtosekund, det är 0,000000000000001 sekunder, det är 14 nollor efter kommat. Det är så liten skillnad att det knappt är mätbart. Men enligt relativitetsteorin finns skillnaden där.
Det viktiga att komma ihåg är att när Bertil kommer joggandes och ser en klocka på andra sidan Adam kommer han tycka att klockan visar lite mer än vad Adam tycker.

Nu gör vi om det hela lite:
Adam sitter på en parkbänk. En bit till till höger om honom står en klocka och tickar.
Nu kommer Bertil joggandes från vänster. Precis när Bertil passerar Adam säger denne: “Nu är klockan tolv”. Bertil svarar: “Nä, klockan är lite mer än 12”.
Det är exakt samma förklaring som ovan: eftersom Bertil rör sig snabbare mot klockan än Adam tycker han att klockan är lite mer. Vi talar fortfarande i storleken en femtosekund i skillnad.

Nu måste jag avbryta och förklara en sak: när Adam säger: “nu är klockan tolv”, menar han vad klockan är där borta just nu, inte vad han ser klockan visa. Vad han ser är klockan som visar någon femtosekund i tolv, för det är vad klockan var när ljuset lämnade klockan – inte vad klockan är nu (detta är ett tankeexperiment, i verkligheten är det meningslöst att tala om “nu” någon annanstans än där man själv är).

Vad händer om vi flyttar klockan tio gånger längre bort bort? Den enda skillnaden är att när Adam tycker att klockan är tolv tycker Bertil att den är 10 femtosekunder över tolv. Det är fortfarande så liten tidsskillnad att det i praktiken är omätbart. För varje gång vi tiodubblar avståndet kommer Bertil tycka att det gått tio gånger mer tid: 100 meter: 100 femtosekunder, o.s.v.
Men inte ens om vi placerade klockan på andra sidan jorden skulle skillnaden i tidsuppfattning mellan Adam och Bertil gå att mäta.
OK, men om vi tar i så vi nästan spricker: vi flyttar ut klockan i rymden och fortsätter ännu längre bort; vi placerar klockan i Andromedagalaxen 2,5 miljoner ljusår bort! Ha! vad säger ni nu?
Nu händer det lite saker: Adam säger att det bara är måndag i Andromedagalaxen och Bertil säger att det redan hunnit bli fredag. Se vad lite avstånd kan göra.
Nu tar vi ännu mer: klockan står fortfarande i Andromedagalaxen, men nu tittar vi på hur jorden rör sig runt solen: i c:a 30 km/s. Eftersom jorden rör sig runt solen rör den sig fram och tillbaka genom rymden. Det betyder att i sin bana runt solen, så en gång om året rör vi oss mot Andromedagalaxen med 30 km/s och ett halvår senare rör vi oss åt andra hållet, i 30 km/s bort från Andromedagalaxen.
Om vi struntar i parkbänken och joggaren, vad tycker vi skillnaden i “nu” är i Andromedagalaxen om vi jämför ett halvårs mellanrum: när vi rör oss mot jämfört med från? Nu skiljer det plötsligt flera hundra år!

Kom ihåg detta:
Om man jämför vad “nu” är kan det skilja flera dagar om avståndet är tillräckligt långt bort. Och är hastighetsskillnaden mellan de två observatörerna tillräckligt stor kan det skilja århundraden.
Men framför allt: detta “nu” långt bort är i grunden bara ett tankeexperiment, för i samtliga fall kommer vi aldrig få reda på vad som händer “nu” i Andromedagalaxen förrän om 2,5 miljoner år när ljuset från Andromeda kommer hit.
Paradoxen löst!

Tvillingparadoxen
Om ni tyckte de tidigare paradoxerna var jobbiga så var det bara uppvärmning till det som kommer nu.
För det första tar vi bort tvillingarna och ersätter dem med Adam, Bertil och Cesar. Om man vill kan man bestämma att de är trillingar, men det behövs inte. Det räcker med att de har med sig varsin klocka. Jag tror det syns ganska tydligt om Adams klocka visar att det gått 10 år, men Bertils klocka bara visar 5 år.

OK, så både Adam och Bertil börjar på jorden med varsin klocka. Bertil ger sig sedan av i ett rymdskepp nära ljusets hastighet, för att sedan vända tillbaka efter några år ute i rymden. När han kommer tillbaks jämför de sina klockor.
I vilken hastighet färdas Bertil? 0,87 c duger bra, då har vi Gamma 2 som är lätt att räkna med.
Hur långt reser han? Vad sägs till vår närmaste stjärna, Alfa Centauri? Nu blev det lite problem, för det är i själva verket ett system med 3 stjärnor, så jag väljer en av dem, den största: Alfa Centauri A.
OK, hur långt är det till Alfa Centauri A? C:a 4,344 ljusår, men vi avrundar till 4,35 för att det ska bli lättare att räkna.
Och hur lång tid tar det att åka till Alfa Centauri? Vi delar avståndet med hastigheten: 4,35/0,87 = 5. Det tar fem år dit och fem år tillbaka, totalt 10 år ur Adams synvinkel.
Observera att vi, precis som Adam, befinner oss på jorden hela tiden. Det enda Adam och vi är hundra procent säkra på är att Bertil kommer tillbaks efter 10 år.

Vad tycker Adam att Bertils klocka visar? Adam tycker att Bertils klocka går hälften så snabbt. När Adams klocka visar 10 år visar Bertils klocka bara 5 år när de träffas igen – vilket är precis vad tvillingparadoxen säger.

Och vad tycker Bertil? Han tycker att jorden rör sig bort och att Alfa Centauri närmar sig med 0,87 c. Han tycker att allt är normalt på rymdskeppet, men att allt annat blir hälften så långt i färdriktningen. Även avståndet mellan jorden och Alfa Centauri blir hälften så långt: bara 2,175 ljusår, vilket betyder att resan tar 2,5 år dit och 2,5 år tillbaka, totalt 5 är för hela resan, precis som tvillingparadoxen säger. Vi har nästan löst allt! Det är bara en liten sak vi ska kontrollera… vad Bertil tycker att Adams klocka visar. Om Bertil tycker att en väg tar 2,5 år och att Adams klocka går hälften så snabbt som Bertils, tycker han att Adams klocka går 1,25 år per väg och att Adams klocka skulle visa 2,5 år när Bertil kommer tillbaka till jorden efter 5 år.
Men det enda vi kan vara säkra på är att Adams klocka visar 10 år efter att Bertil rest 4,35 ljusår tur och retur i 0,87 c.
Adams klocka visar definitivt inte 2,5 år när Bertil kommer tillbaka, utan 10 är!
Det är nog en bit kvar tills vi löst tvillingparadoxen.

Någonting är fel med våra uträkningar, men vad?
Vad är det som skiljer tvillingparadoxen från alla tidigare paradoxer som vi gått igenom?
Ta en titt på Einsteins första postulat igen: “alla system där observatörer rör sig i konstant hastighet”. Ja, Bertil har rört sig konstant i 0,87 c hela tiden. Vad är problemet?
OK, ta en titt nästan högst upp på sidan, i stycket om fysiska enheter.
Där står det att när vi säger hastighet så menar fysiker velocitet.
Och vad betyder velocitet?
Hastighet… och riktning.
Det stämmer att när Bertil åker från jorden är hastigheten/velociteten 0,87 c. Men när han åker mot jorden förflyttar han sig i motsatt riktning. Velociteten på hemresan är -0,87 c. Ser ni minustecknet?
Vi har brutit mot Einsteins postulat som säger att man måste röra sig i konstant hastighet.
Det som skiljer tvillingparadoxen från tidigare paradoxer är att Bertil börjat med samma hastighet som Adam: 0 m/s, sedan accelererat till 0,87 c, sedan bromsat in, negativ acceleration, vid Alfa Centauri, för att sedan accelerera från Alfa Centauri till 0,87 c, för att slutligen bromsa, negativ acceleration, vid jorden, så han åter får samma hastighet som Adam: 0 m/s.
I tidigare paradoxer har ingen accelererat.

Jag har flera gånger sagt att det är jättejobbigt att räkna med acceleration i relativitetsteorin, men varför?
Vi tar ett vardagligt exempel: avståndet Stockholm-Göteborg är c:a 400 km. Om vi kör i 100 km/tim tar det 4 timmar per väg, 8 timmar tur och retur. Vi har tidigare sagt att en snabb bil accelererar 0 till 100 på 3 sekunder. Om vi accelererar när vi börjar köra, sedan lite bromsning och acceleration när vi vänder, sist omvänd acceleration när vi bromsar in vid Stockholm igen, det betyder 12 sekunders acceleration på en resa som tar 8 timmar. Vad kan lite acceleration ställa till med?
Det beror på att det är lite skillnad mellan 100 km/tim och 0,87 c.
Först: hur snabbt vill vi accelerera rymdskeppet?
Jag skrev tidigare att en acceleration på 9,81 m/s² inte gick att skilja från jordens gravitation: 1 g. Det tycker jag låter bekvämt. För att det ska bli lätt att räkna kan vi säga 10 m/s², som av en händelse är den acceleration som vår bil har när den accelererar från 0 till 100 på 3 sekunder. Så hur många sekunder tar det att accelerera till 0,87 c?
Först, vilken hastighet är 0,87 c? Enkelt 300000 km/s * 0,87 = 261000 km/s. Men vi bör göra om det till m/s för att det ska bli samma enhet som accelerationen: 261 000 000 m/s.
Sen är det bara att dela hastigheten med accelerationen för att se hur många sekunder det tar: 261 000 000 / 10 = 26 100 000 sekunder.
26 100 000 sekunder / 60 = 435 000 minuter.
435 000 minuter / 60 = 7250 timmar, som vi “avrundar” till 7248 timmar.
7248 timmar / 24 = 302 dagar, vilket är c:a 10 månader.
Det är väl inte så farligt: 10 månaders acceleration, sedan resa i 0,87 c i 4 år och 2 månader, sedan bromsa i 10 månader, sedan samma sak hem igen. Det tar lite längre tid för man åker inte i 0,87 c hela tiden, det tar 12 år och 8 månader, vilket inte är så mycket mer än 10 år. Var är problemet?

Varför valde vi accelerationen 10 m/s²? För att det var en bekväm acceleration för Bertil.
Och från vems synvinkel har vi räknat ut att det tar 12 år och 8 månader? Från Adams synvinkel.
Vad tycker Bertil om accelerationen?
Bertil tycker att det är helt OK acceleration i början av resan, men i slutet av accelerationen, runt dag 300, är det inte lika kul.
Då är Gamma 2 och klockorna går hälften så snabbt på rymdskeppet. Det betyder att när Adam tycker att skeppet accelererar 10 meter per en sekund, tycker Bertil att skeppet accelererar med 10 meter per halv sekund, vilket är dubbelt så hög acceleration.
Då Gamma är 2 blir också skeppet hälften så långt i färdriktningen. Säg att skeppet är 10 meter långt. I början tycker Bertil att skeppet accelererar med en skeppslängd per sekund, men mot slutet är skeppet hälften så långt så det accelererar med 2 skeppslängder per sekund, vilket är dubbelt så hög acceleration.
Mot slutet dubblas accelerationen två gånger vilket blir 4g. Det betyder att för en person som väger 75 kg här på jorden känns det som man väger 4 gånger mer: 300 kg.
Vad skulle ni komma ihåg från paradoxen med stegen och ladan (tåget och tågdepån)? Jo att det är vanligt att man får multiplicera Gamma med sig självt för att få den riktiga effekten när man byter från vems synvinkel man ser, så Gamma 2 blir ofta *4. Bertil är väldigt glad att man inte skulle accelerera till 94 c som är Gamma 3, för då hade det känts som om Bertil vägt 75 * 3 * 3 = 675 kg och jag är inte säker på att Bertil hade överlevt den vikten under längre tid.

Men om man vänder på det: man accelererar så det känns som 10 m/s² ur Bertils perspektiv hela accelerationen. Detta kallas proper acceleration och istället för 1 g säger man 1 gee, När man börjar närma sig 0,87 c måste man fortfarande ta *4 när man byter referens, men nu blir det åt andra hållet: När Bertil tycker att skeppet accelererar i 10 m/s² tycker Adam att skeppet accelererar i 10/4 = 2,5 m/s² mot slutet när man närmar sig Gamma 2. Accelerationsperioden blir betydligt längre än 300 dagar, men Bertil är glad så allt är väl frid i fröjd?
Nja, anledningen till att Adam tycker att Bertil accelererar med 2,5 m/s² är för att Gamma är 2. Och hur förändras gamma? Det går från 1 till 2 när hastigheten accelererar från 0 till 0,87 c. Och vad är accelerationen ur Adams synvinkel? Jo den är Bertils 10 m/s² delat med Gamma i kvadrat. Så hur ökar hastigheten ur Adams synvinkel? Hastigheten ökar med 10/Gamma²,där Gamma beror på hastigheten, som i sin tur beror på accelerationen som i sin tur beror på Gamma…
Vi får något som på fint språk kallas för en självrefererande integral. Jag vill inte röra vid något sådant med tång ens.

Så vi har kommit fram till att tvillingparadoxen kräver att vi räknar med acceleration och jag vill inte räkna med acceleration ens om någon riktade en pistol mot mitt huvud. Hur gör vi då? Finns det något sätt att slippa accelerationen?
Ja, om vi blandar in Cesar.

Säg att jorden är en punkt till vänster på skärmen och Alfa Centauri är en punkt till höger på skärmen.
Adam befinner sig på jorden och rör sig inte.
Bertil börjar långt ut till vänster utanför skärmen och accelererar till 0,87 c. Vi bryr oss inte om hur han accelererar, det enda intressanta är att Bertil redan rör sig i 0,87 c när han passerar jorden.
När Bertil passerar jorden gör han en “high five” med Adam och de synkar sina klockor (tips: försök inte göra en high five med någon som rör sig i 0,87 c).
Cesar börjar långt ut till höger utanför skärmen, så han redan har hastigheten 0,87 c när han passerar Alfa Centauri.
Givetvis har vi sett till att Bertil och Cesar möts precis när bägge passerar Alfa Centauri. De gör en high five och synkar sina klockor.
Slutligen gör Cesar och Adam en high five när Cesar passerar jorden och Adam kan avläsa hur lång tid Bertils + Cesars sammanlagda resa tagit och jämföra med sin egen klocka.

Det är bara ett problem:
Enligt Bertil tar en enkelresa 2,5 år och på den tiden ska Adams klocka visa hälften så mycket: 1,25 år. Cesar tycker exakt samma sak: de tycker att deras sammanlagda restid är 5 år och att Adams klocka borde visa att det gått 2,5 år, d.v.s. exakt samma problem som förut.
Någonting är fortfarande fel.
För att lösa det här problemet måste vi bygga om Bertils och Cesars rymdskepp. Efter Bertils rymdskepp fäster vi en lång pinne. Sedan fäster vi en lika lång pinne framför Cesars rymdskepp.
Hur lång pinne? Inte så lång… bara 2,175 ljusår, halva avståndet mellan jorden och Alfa Centauri. Det betyder att om Bertil och Cesar istället bestämde sig för att sakta ner och mötas för att dricka en kopp kaffe tillsammans mitt emellan jorden och Alfa Centauri så skulle bägge pinnarna räcka precis fram till jorden och Adam skulle kunna ta på ändarna.

Nu gör vi om allt igen, men nu räknar vi på vad som händer med pinnarna. Bertil blåser förbi jorden i 0,87 c, men hur lång tid tar det för änden på Bertils pinne att passera jorden?
Adam tycker att Bertil, rymdskepp och pinne blir hälften så långa i färdriktningen. Pinnen är alltså inte längre halva avståndet mellan jorden Alfa Centauri, utan 1/4 av avståndet. Därför tycker Adam att pinnen lämnar jorden efter 1/4 av resan. Vi har redan konstaterat att Adam tycker att en enkelväg tar 5 år och 1/4 av det är 1,25 år. Adam tycker att pinnen lämnar jorden efter 1 år och 3 månader.
För Cesar är det tvärt om: Adam tycker att hela resan tar 10 år, men att Cesars pinne når jorden 1,25 år innan Cesar, efter 8,75 år. Adam tycker att Cesars pinne kommer fram till jorden efter 8 år och 9 månader.

Nu vet vi vad Adam tycker om pinnarna, men vad tycker Bertil och Cesar?
Vad skulle vi komma ihåg från paradoxen med stegen och ladan (tåget och tågdepån)? Jo att när man byter referenspunkt måste man ofta multiplicera Gamma med sig själv, Gamma 2 blir *4.

Bertil tycker att ingenting hänt med honom skeppet, eller pinnen. Med andra ord tycker han att pinnen är 2,175 ljusår lång. Sedan hade vi redan räknat ut vad Bertil tyckte om själv resan, men jag repeterar för säkerhets skull:
Bertil tyckte att avståndet halverades så det är bara 2,175 ljusår mellan jorden och Alfa Centauri och att resan bara tar 2,5 år till Alfa Centauri.
Och vad händer med pinnen? Den är nu lika lång som avståndet mellan jorden och Alfa Centauri, 2,175 ljusår; Adam tyckte att pinnen var 1/4 av avståndet och Bertil tycker att det är hela avståndet, vilket är 4 gånger mer.
Så Bertil tycker att en enkelresa tar 2,5 ljusår. Bertil tycker att pinnen lämnar jorden precis när han passerar Alfa Centauri. Och vad tycker Bertil att Adams klocka visar när staven lämnar jorden? Jo, Bertil tycker att Adams klocka rör sig hälften så snabbt, d.v.s. 1,25 ljusår. Och när tyckte Adam att staven lämnade jorden? Efter 1,25 ljusår. Det börjar stämma!

För Cesar räknar vi tvärt om. Tänk på att han inte rest med Bertil, bara möter honom vid Alfa Centauri. Det enda vi vet med säkerhet är att Cesar åker förbi jorden när Adams klocka visar 10 år. Vi vet att resan Alfa Centauri-jorden tar 2,5 år, alltså måste han passera Alfa Centauri 2,5 år tidigare, d.v.s. efter 7,5 år. Vi vet att Cesar, precis som Bertil, tycker att staven är lika lång som avståndet mellan Alfa Centauri och jorden, d.v.s. staven kommer fram till jorden när Cesar kommer fram till Alfa Centauri. Och vad tycker Cesar att Adams klocka är när staven kommer fram till jorden? Jo, Cesar tycker att Adams klocka rör sig hälften så snabbt, så om Adams klocka ska visa 10 år när Cesar kommer fram till jorden om 2,5 år, måste den visa 8,75 år när staven kommer fram till jorden. Och vad tyckte Adam att klockan var när staven kom fram? Jo, 8,75 år. Vi har nästan löst paradoxen!

Vi har bara ett litet problem kvar: Bertil möter Cesar när bägge passerar Alfa Centauri, men när de möts tycker Bertil att Adams klocka visar 1,25 år, men Cesar tycker att den visar 8,75 år. Det är en skillnad på 7,5 år. Något är fel.
Vad var det vi skulle komma ihåg från Andromedaparadoxen?
Jo att personer som möts kan ha helt olika uppfattning om vad “nu” är på en annan plats. Om avståndet är 2,5 miljoner ljusår kunde det skilja dagar och det var den som rörde sig mot målet som tyckte att det gått mer tid. Och om hastigheten var hög kunde det skilja hundratals år för vad de tyckte om “nu” då avståndet var 2,5 miljoner ljusår bort.
Så om två personer möts, hur mycket tror ni att deras “nu” skiljer sig åt för en plats 4,35 ljusår bort. Och om de rör sig riktigt snabbt t.ex. 0,98 c mot varandra hur mycket tror ni deras “nu” skiljer sig? Vad sägs om 7,5 år?

Nu har vi i praktiken löst paradoxen så jag tänkte bara avsluta med att gå tillbaka till när vi bara hade Bertil och han accelererade. Den största tidsskillnaden mellan Adam och Bertil uppstår när Bertil byter riktning borta vid Alfa Centauri. Det betyder att på vägen till Alfa Centauri tycker Bertil att Adam har nästan samma tid, d.v.s. att bara något år har gått. Sedan på vägen tillbaks till jorden tycker att Bertil återigen att Adams tid är rätt, d.v.s. att det gått runt 9 år.
Det är när Bertil Bromsar in från 0,87 c vid Alfa Centauri, för att sedan accelerera tillbaks mot jorden igen i 0,87 c, en manöver som tar totalt c:a 800 dagar, som Adam åldras. D.v.s. under 800-dagars accelerationen vid Alfa Centauri tycker Bertil att Adam åldras 7,5 år.

Och det är den riktiga lösningen på paradoxen.
Tack och hej.

För några dagar sedan bestämde jag mig för att förstå tvillingparadoxen, som är ett fenomen som dyker upp när man räknar på Einsteins speciella relativitetsteori. Men relativitetsteorin ses som ologisk, ointuitiv och jättesvår att förstå. Det som tog tid var inte för mig att förstå, utan att kunna förklara på ett sätt så att andra förstår. Har jag lyckats? Det får ni avgöra.

Målet har varit att skriva en artikel, inte en bok. När jag började skriva svällde texten över alla bräddar. Jag var tvungen att kapa allt som inte hade med tvillingparadoxen att göra för att få ner längden på den här artikeln.

Tvillingparadoxen

Vi har två tvillingar, varav den ena stannar kvar på jorden och den andra ger sig av i ett rymdskepp som rör sig nära ljusets hastighet. När den andra tvillingen kommer tillbaks till jorden visar det sig att tvillingen på jorden blivit äldre än tvillingen i rymdskeppet. Det har gått mer tid på jorden än ombord på skeppet. Deras klockor visar olika tid.

När man börjar räkna med den speciella relativitetsteorin inser man snabbt att det är helt normalt att tiden går olika snabbt på olika platser. Det är inte paradoxalt att tvillingarna är olika gamla. Paradoxen ligger istället i frågan: varför är det tvillingen på jorden som är äldre än tvillingen i rymdskeppet och inte tvärt om?

Adam, Bertil och Cesar

Säg hej till Adam Bertil och Cesar. De är de tre observatörer som kommer att hjälpa oss att förstå relativitetsteorin genom flera exempel i texten. Jag har försökt att vara konsekvent så det är alltid Adam som står still, medan de två andra rör sig i olika farkoster och olika hastigheter.

Matematik

Många tror att något så obegripligt som relativitetsteorin måste innehålla avancerad matematik. Det är inte helt sant. Det stämmer att det krävs universitetsstudier för att man ens ska kunna börja räkna på den allmänna relativitetsteorin. Det stämmer också att det krävs avancerad matematik om man ska räkna med proper acceleration i den speciella relativitetsteorin. Men faktum är att den speciella relativitetsteorin, utan acceleration eller gravitation, bygger på Pythagoras sats som är högstadiematte. Jag har försökt ha med så lite matte som möjligt. Den avancerade matte som är med är bonusinformation som man kan hoppa över.

Fysiska enheter

Sträckor, längder och avstånd mäts i meter (eller annan längdenhet). Tid mäts i sekunder (eller annan tidsenhet). Hastighet beskriver hur lång sträcka man förflyttar sig på en viss tidsenhet. Ex:
Om Bertil kör i 100 km/tim betyder det att efter en timme har han hunnit 100 km.
När fysiker talar om hastighet brukar de använda bokstaven v. Det beror på att de inte räknar med hastighet, utan velocitet (engelska: velocity). Orddelen “velo” finns även i ord som velociped och velodrom. Skillnaden är att velocitet är hastighet med riktning, ex:
Bertil kör bil, v = 100 km/tim. Han möter Cesar som kör lika snabbt i andra riktningen, v = -100 km/tim.
Ser ni att det är ett minustecken framför Cesars hastighet? Vi kan avgöra i vilken riktning Cesar kör: mot Bertil.
Om hastighet är hur långt man hinner på en tidsenhet, t.ex. m/s, så är acceleration hur mycket hastigheten ökar per tidsenhet, t.ex. (m/s)/s. Istället för för att säga meter per sekund per sekund, (m/s)/s, säger man meter per sekundkvadrat, m/s².
För många är acceleration detsamma som att sätta sig i en bil, trycka gasen i botten och accelerera från 0 till 100 så snabbt som möjligt. Om Bertil sätter sig i en bil som står still (0 m/s), trycker gasen i botten och accelererar med 10 m/s², betyder det att hastigheten ökar med 10 m/s per sekund, d.v.s. 0 s = 0 m/s, 1 s = 10 m/s, 2 s = 20 m/s, 3 s = 30 m/s, o.s.v. Om någon undrar vad 30 m/s är i km/tim så multiplicerar man med 3,6: 30 m/s * 3,6 = 108 km/tim, d.v.s. Bertil har en bil som kan accelerera från 0 till 100 på lite under 3 sekunder.
Precis som hastighet kan vara positiv och negativ, kan acceleration vara positiv och negativ. Positiv acceleration är att trycka på gasen så att hastigheten ökar, medan negativ acceleration är att trycka på bromsen så att hastigheten minskar.

Ljusets hastighet

Om man menar ljusets hastighet genom ett medium t.ex. vatten, så säger man det: “ljusets hastighet genom vatten”. Om man bara säger “ljusets hastighet” menar man alltid “i vakuum”, d.v.s. ute i rymden.
När man säger att ingenting kan röra sig snabbare än ljuset, menar man ljuset i vakuum. Ljusets hastighet genom luft, vatten, glas, o.s.v. är lägre än ljusets hastighet i vakuum; följaktligen finns det saker som kan röra sig snabbare än t.ex. ljuset i vatten.
Kom ihåg: om man bara säger ljusets hastighet menar man i vakuum, ute i rymden.

Ljusets hastighet är exakt 299 792 458 m/s. Ljusets hastighet är konstant och betecknas med bokstaven c. Man brukar avrunda och säga att ljusets hastighet är 300000 km/s, men tänk då att man ändå menar det exakta värdet: 299792,458 km/s.
Hur snabbt är ljuset? Jordens omkrets är 40000 km, om vi delar ljusets hastighet med jordens omkrets får vi: 300000/40000 = 7,5. Det betyder att om vi kunde skicka en ljusstråle runt jorden skulle den hinna 7,5 varv runt jorden på en sekund.
När man talar om höga hastigheter är det lättare att ange dem som en del av c än att skriva ut massor med nollor. Ex: halva ljushastigheten är 150000 km/s, men det är enklare att bara skriva 0,5 c.

Tänk även på att ett ljusår inte är en tidsenhet, utan en sträcka: så långt ljuset hinner på ett år. En annan vanlig enhet är en ljussekund, så långt ljuset hinner på en sekund, 299 792 458 m.

Innan Einstein

Relativitetsteorin dök inte upp ur tomma intet, utan bygger på och förklarar saker man redan upptäckt under 1800-talet, men som man inte förstod och tyckte var jättekonstiga.
T.ex. hade fysiker¹ på 1800-talet redan mätt och räknat ut att ljusets hastighet var 300000 km/s (till en noggrannhet av c:a +/- 1 km/s). Man hade inte bara lyckats mäta ljusets hastighet, utan även konstaterat att det var konstant. Vi kommer återkomma till att ljuset är konstant och varför det är så konstigt.
För att försöka förklara ljushastighetens konstans hade Hendrik Lorentz och andra fysiker² konstruerat ekvationen för längdkontraktion och tidsdilatation, det vi idag kallar för Lorentztransformation. Förenklat kan man säga att längdkontraktion förklarar hur föremål blir kortare och tidsdilatation hur tiden går långsammare för föremål som rör sig i hastigheter nära ljusets. Vi kommer återkomma till exakt hur Lorentztransformation, längdkontraktion och tidsdilatation fungerar. Det viktiga är att man redan kände till dessa innan Einsteins relativitetsteori.
Även om man hunnit långt och redan hade ekvationerna, förstod man inte riktigt varför. Det är här Albert Einstein kom in: han knöt ihop säcken och förklarade hur allt hängde ihop, vilket ingen annan lyckats göra tidigare.

¹James Bradley, Hippolyte Fizeau, Leon Foucault, Albert Michelson och Edward Morley bestämde ljusets hastighet och konstans genom fysiska experiment. James Maxwell kom fram till ljusets hastighet och konstans på teoretisk väg, d.v.s. genom räkna fram det med ekvationer.
²Hendrik Lorentz tillsammans med George FitzGerald, Woldemar Voigt, Joseph Larmor och Henri Poincaré utvecklade längdkontraktion och tidsdilation, samt Oliver Heaviside som kom fram till samma sak efter att ha skrivit om Maxwells 20 ekvationer till de 4 vi använder idag.

Annus Mirabilis

Året var 1905 när en 26-årig lägre tjänsteman vid Schweiz patentverk släppte 4 akademiska papper som skulle vända upp och ner på världen. Den unge tjänstemannen var Albert Einstein och detta var hans annus mirabilis, hans mirakelår.
Det första pappret förklarade brownsk rörelse, d.v.s. varför små partiklar, t.ex. pollen, rör sig i ett fluidum, t.ex. vatten. Något som är användbart av dagens kemister.
Det andra pappret gav honom ett Nobelpris och nej, han fick aldrig Nobelpris för relativitetsteorin. det förklarade den fotoelektriska effekten, löste ett problem som kallades den ultravioletta katastrofen och lade grunden för dagens kvantmekanik.
Det tredje pappret innehöll världens mest mest berömda ekvation: E = mc², och nej, det är inte heller relativitetsteorin, utan ett tillägg till relativitetsteorin och som bl.a. är grunden för dagens kärnkraftverk.
Det fjärde pappret, slutligen var relativitetsteorin.

Redan när han publicerade relativitetsteorin 1905 visste Einstein att den inte var komplett, för den kunde inte räkna med gravitation. Därför började han genast med arbetet på en ny relativitetsteori. Under flera år slet han och försökte konstruera något som var lika matematiskt enkelt som den första teorin, men det gick inte. Till slut gav han upp och använde matematiken som hans gamla matematikprofessor Hermann Minkowski utvecklat: Minkowskirymden. Einstein slet bokstavligen dag och natt i 10 års tid för att bli färdig med den nya teorin och faktum är att hade han bara dröjt en månad till hade matematikern David Hilbert hunnit publicera samma teori före honom.
Nu hade vi två relativitetsteorier och för att skilja dem åt kallar vi den från 1905 för den speciella relativitetsteorin och den från 1915 för den allmänna relativitetsteorin. Man kan säga att att den speciella är ett specialfall av den allmänna. Den stora skillnaden är att den allmänna kan räkna med gravitation, vilket den speciella relativitetsteorin inte kan göra.
Dock är matematiken mycket mer avancerad i den allmänna, så vi lämnar den och inriktar oss på den speciella relativitetsteorin.

Speciella relativitetsteorin

Einstein behövde bara två postulat i den speciella relativitetsteorin:
1. Fysikens lagar är desamma i alla inertialsystem; system där observatörer rör sig med konstant hastighet.
2. Ljusets hastighet i vakuum är konstant lika med c för alla observatörer i likformig relativ rörelse.

Relativitet

Vad betyder Einsteins första postulat? Låt oss gå tillbaka 400 år, till Galileo Galilei. Det var han som släppte saker från det lutande tornet i Pisa och kom fram till att olika tunga saker faller lika snabbt. Det var han som byggde världens första stjärnkikare och var den förste att se Jupiters månar. År 1632 gav han ut boken “Dialog om de två världssystemen” som sa att det är jorden som roterar runt solen och inte tvärtom. För detta belönade den katolska kyrkan honom med husarrest för resten av hans liv. Samma bok innehöll även invariansprincipen:
Om man befinner sig under däck på ett segelfartyg, när det är lugnt väder så det varken gungar eller lutar, finns det inget sätt att avgöra om fartyget seglar ute till havs, eller ligger förtöjt i hamn.

Vi tar ett modernare exempel: säg att du åker tåg. Ett supermodernt maglevtåg som inte åker på räls, utan svävar i luften ovanför rälsen. Ett tåg som varken skakar eller låter, det enda man hör är luftkonditioneringen, oavsett om det står still eller rör på sig. Du sätter dig på tåget, men är trött så du drar för gardinerna och sluter ögonen… Du vaknar med ett ryck och vet inte var du är: är tåget kvar på perrongen? Rör sig tåget i konstant hastighet utan att svänga? Eller är det redan framme vid destinationen? Det kan du inte avgöra.
Galileos invariansprincip är så viktig att Einstein funderade på att kalla relativitetsteorin för invariansteorin istället. Men Einstein gick ett steg längre: han sa att fysikens lagar är desamma oavsett i vilken hastighet man rör sig i och det finns inget fysikaliskt experiment som man kan göra för att skilja olika hastigheter åt.

Vi tar ett exempel till så ni förstår hur viktigt det är:
Du befinner dig ombord på ett rymdskepp långt ut i rymden. Skeppets motorer är avstängda så det finns inga krafter som verkar på dig. Du är i vila och svävar tyngdlöst runt i skeppet.
Plötsligt startar skeppets motorer och skeppet börjar accelerera. Du pressas mot ett av skeppets väggar som nu blir dess “golv” som du nu kan gå på.
Lika plötsligt stängs skeppets motorer av igen, återigen svävar du tyngdlöst runt på skeppet, återigen är du i vila.
Även om du vet att skeppet accelererade och dess hastighet därför måste ha ändrats, finns det inget sätt att skilja på det tillstånd av “vila” du befann dig i innan jämfört med “vila” efter accelerationen. Du kan inte avgöra om skeppet stod still från början och nu har accelererat till en viss hastighet, eller om skeppet hade en hastighet och utförde en “negativ” acceleration, d.v.s. bromsade, och därför står still nu.

Har ni förstått? Vi tar ett exempel till:
Säg att du är ombord på ett rymdskepp som rör sig i halva ljushastigheten, 150000 km/s, 0,5 c, genom vår galax… STOPP!!!
Accelererar skeppet? Nej, det rör sig med konstant hastighet. Alltså svävar du i tyngdlöst tillstånd och är i vila. Om du tittar ut ser du hur galaxen flyger förbi i 0,5 c.
Det korrekta sättet att beskriva det på är att du är i vila ombord på ett rymdskepp och att vår galax rör sig med halva ljushastigheten förbi skeppet.
Det är samma sak om du sitter i en bil som rör sig rakt fram i den konstanta hastigheten 100 km/tim. Du sitter fastspänd med säkerhetsbälte och rör dig inte alls. Du är i vila. Det är vägen under bilen som rör sig i 100 km/tim i förhållande till dig. Om du tar fram ett par bollar och börjar jonglera beter sig bollarna likadant oavsett om bilen står parkerad, eller den kör i 100 km/tim. Fysikens lagar är desamma.

Vi tar ett sista exempel för att ni verkligen ska förstå:
Bertil är i ett rymdskepp som inte accelererar, han är i vila och svävar i tyngdlöst tillstånd.
Plötsligt möter han Cesar som är i ett annat rymdskepp. Cesars rymdskepp accelererar inte heller så han är också i vila och svävar i tyngdlöst tillstånd.
Men eftersom de möts måste de två rymdskeppen ha olika hastighet, olika velocitet.
Hade de haft samma hastighet hade de två skeppen svävat bredvid varandra och Bertil kunde ha tagit en rymdpromenad över till Cesars skepp för att dricka en kopp kaffe (det är dock lite svårt att dricka i tyngdlöst tillstånd).
Nu rör de sig i förhållande till varandra. Bertil tycker att han är i vila och att det är Cesar som rör sig i förhållande till honom. Men Cesar tycker att det är han som är vila och att det är Bertil som rör sig.
Faktum, som vi senare kommer att se, är att de inte är ense om någonting: inte var någonting är, inte hur fort något rör sig, inte vad klockan är… allt är relativt… utom ljushastigheten.

Bonus

När Einstein publicerade den allmänna relativitetsteorin 1915 sa han:
Om man är i ett rum utan fönster kan man inte avgöra om rummet står still på jorden, eller om rummet befinner sig på ett rymdskepp som accelererar i 9,81 m/s², vilket är precis lika mycket som gravitationen här på jorden.
Nu ljög jag, vad han egentligen sa var:
Om man befinner sig i ett rum utan fönster och plötsligt blir tyngdlös, kan man inte avgöra om rummet är en hiss som fått kablarna avklippta och faller mot marken, eller om rummet är på rymdskeppet som plötsligt stängt av sina motorer så man slutar accelerera och börjar röra sig i konstant hastighet.
Det enda Einstein gjorde var att expandera invariansprincipen med faktumet att det inte finns något sätt att skilja mellan gravitation och acceleration. Men att räkna med acceleration och gravitation är komplicerat så vi lämnar det nu.

Ljushastighetens konstans

Jag sa tidigare att allt är relativt, utom ljushastigheten.
Låt oss återgå till Einsteins andra postulat. Einstein säger att ljusets hastighet är konstant 300000 km/s för alla observatörer. Det låter inte konstigt tills man inser vad det betyder. Låt oss ta ett exempel:
Adam står på en tågstation. Bertil står på ett tåg som åker förbi stationen i 100 km/tim. Bertil har en pilbåge och kan skjuta pilar i 200 km/tim (vi ignorerar luftmotstånd, så pilarna lämnar alltid Bertils pilbåge i 200 km/tim).
När tåget åker mot stationen skjuter Bertil en pil framåt mot stationen. Adam tycker att pilen kommer mot honom i (tågets hastighet 100 km/tim + pilens hastighet 200 km/tim) = 300 km/tim. Eftersom pilen rör sig med tåget lägger man ihop hastigheterna.
När tåget passerat stationen skjuter Bertil en pil bakåt mot stationen. Adam tycker att pilen kommer mot honom i (pilens hastighet 200 km/tim – tågets hastighet 100 km/tim) = 100 km/tim. Eftersom pilen rör sig mot tåget drar man av hastigheterna.

Det var förhoppningsvis enkelt. Så länge som man har normala hastigheter för bilar, tåg och flyg är det bara att lägga till och dra ifrån hastigheter för att få den totala hastigheten. Nu komplicerar vi lite.
Adam står på en tågstation. Bertil står på ett tåg som rör sig i halva ljushastigheten, 0,5 c. Bertil har en ficklampa som han kan lysa med. Oavsett åt vilket håll han riktar ficklampan lämnar ljuset lampan i ljusets hastighet 300000 km/s, för ljusets hastighet är konstant.
När tåget åker mot stationen lyser Bertil på stationen. Adam tycker inte att ljuset kommer mot honom i 1,5 c, utan i 300000 km/tim, för ljusets hastighet är konstant och man ignorerar tågets hastighet.
När tåget passerat stationen lyser Bertil på stationen. Adam tycker inte att ljuset kommer mot honom i 0,5 c, utan i 300000 km/tim, för ljusets hastighet är konstant och man ignorerar tågets hastighet.

Nu blev det komplicerat, så vi tar det en gång till:
Bertil och Cesar åker i varsitt rymdskepp och rör sig mot varandra i halva ljushastigheten, 0,5 c. Samtidigt lyser de på varandra med varsin ficklampa.
Bertil tycker att han är i vila och att det är Cesar som närmar sig i 0,5 c. Samtidigt tycker han att både hans och Cesars ljusstrålar rör sig i hastigheten c, men åt olika håll.
Cesar tycker att han är i vila och att det är Bertil som närmar sig i 0,5 c. Samtidigt tycker han att både hans och Bertils ljusstrålar rör sig i hastigheten c, men åt olika håll.

Den 4-dimensionella rumtiden

Detta betyder att att två observatörer som rör sig i förhållande till varandra inte kommer att vara överens om någonting, inte hur fort saker rör sig, var saker är i rummet, eller hur mycket klockan är – utom en sak där de är helt överens: ljusets hastighet är alltid konstant c.
Det här låter ju helt koko bongo! Hur kan man inte vara överens om någonting, men samtidigt vara överens om att ljusets hastighet alltid är c?
Jo, säger Einstein, det beror på att vi lever i den 4-dimensionella rumtiden.
BOOM!
Där flög topplocket iväg för många av våra läsare.
Låt oss sakta skruva fast topplocket igen, en dimension i taget.

De första dimensionerna

0. En punkt har 0 dimensioner, den är dimensionslös. Om en fluga står på punkten kan den inte gå någonstans, utan den är fast vid punkten. Man kan tycka att zoomar man in på punkten, t.ex. tittar på den i ett förstoringsglas, att den liknar en liten cirkel. Men cirkeln finns bara där för att vi ska se var punkten är: mitt i cirkeln. Egentligen har punkten ingen bredd eller höjd och fortsätter att vara en punkt oavsett hur mycket vi zoomar in. den har inga dimensioner.
1. Nu drar vi en linje från punkten. Nu kan en fluga gå fram och tillbaka på linjen. Vi har en sträcka, som har en dimension: fram och tillbaka. Man kan tycka att zoomar man in på sträckan ser den ut som en liten väg, men vägen finns bara där för att vi ska kunna se linjen mitt i vägen. En sträcka har ingen bredd och fortsätter att vara en tunn linje oavsett hur mycket man zoomar in.
2. Nu tar vi linjen och drar den åt sidan så vi får en yta. Tänk dig att du putsar fönster; först sprejar du fönstret med fönsterputs, sedan sätter du fönsterskrapan mot fönstret så det bildas en tunn linje på glaset där du sprejat, sedan drar du fönsterskrapan så det bildas en ren yta. Är du duktig har du skapat en kvadrat på fönstret med fönsterskrapan. Om en fluga sätter sig på den nyskrapade ytan kan den gå vänster-höger (en dimension), eller upp-ner (en andra dimension), eller vilken kombination som helst av vänster-höger och upp-ner, diagonalt, över ytan. En yta har två dimensioner. Om du målar en fyrkant på ett papper och zoomar in på kanten av fyrkanten kan du se att färgen ligger som ett tjockt lager på pappret, det är bara för att du ska kunna se fyrkanten. En riktig yta har ingen tjocklek, ingen höjd.
3. Nu tar vi den tvådimensionella fyrkanten och drar den rakt upp mot oss så vi får en kub. Tänk dig att vi har en uppblåsbar luftmadrass. Innan man blåser upp den är den alldeles platt, 2-dimensionell. När man sedan blåser upp den får den en tredje dimension: upp-ner. Ett rum har tre dimensioner: det har höjd, bredd, djup. En fluga i rummet kan flyga vänster-höger, fram-tillbaka, upp-ner.

Säg att vi har ett rutat papper som vi tejpar fast på väggen. Dra en vågrätt linje från vänster till höger på pappret, vi kallar linjen för x-axeln. Dra en lodrätt linje uppifrån och ner, så det korsar den vågräta linjen, vi kallar den andra linjen för y-axeln och vi har gjort ett koordinatsystem. Punkten där de två strecken korsas kallas origo. Stå framför det upptejpade pappret, sätt fingret på origo, där x-axeln och y-axeln korsar varandra. Flytta sedan fingret fram och tillbaka mellan origo och och din näsa. Tänk dig att det går en tredje linje rakt ut från pappret, vi kallar den tredje linjen för z-axeln.
Man kan säga att x-axeln som går vänster-höger motsvarar den första dimensionen, y-axeln som går upp-ner motsvarar den andra dimensionen, z-axeln som går fram-tillbaka motsvarar den tredje dimensionen.
Även om vi dagligt tal brukar säga bredd, höjd och djup, brukar fysiker tala om x-, y-, och z-axeln.

Att blanda dimensioner

Säg att du tittar på en karta. Det kan vara en papperskarta, en karta på din datorskärm, eller i din mobil. Oavsett vad så är pappret, datorskärmen och mobilen platta. Kartan finns på en platt 2-dimensionell yta. Fastän kartan är 2-dimensionell kan den visa något 3-dimensionellt. En orienteringskarta har massor med höjdkurvor som visar var det finns berg och hur branta de är. Och är du ute i en båt använder du sjökort där man kan se hur djupt det är ner till botten så man inte går på grund. Det är inte alls konstigt att 2-dimensionella saker kan återge 3-dimensionella: foton är t.ex. 2-dimensionella ytor. Titta på vilket foto som helst i din mobil och du har inga problem att avgöra vad som är nära kameran och vad som är långt bort, d.v.s. var något är på den 3-dimensionella z-axeln.

Även om kartor kan simulera den tredje z-dimensionen så man får en känsla för djup, kan de även visa andra saker. Ta t.ex. en väderkarta över Sverige som visar hur varmt (eller kallt) det kommer att bli imorgon. Istället för att se var olika berg finns i Sverige ser man nu vad det kommer att vara för temperatur i Malmö, Stockholm och Kiruna. Faktum är att på en temperaturkarta är temperaturen den tredje dimensionen. På samma sätt kan man se hur mycket det ska blåsa, då blir vindhastigheten den tredje dimensionen, eller hur mycket det ska regna, då blir nederbörden den tredje dimensionen på kartan.

Man kan även tänka sig diagram där den vågräta x-axeln visar tid, t.ex. år, och den lodräta y-axeln kan visa saker som Sveriges inflation över tid, kronans växelkurs mot dollarn över tid, hur mycket ett barn växer från år till år, eller hur medeltemperaturen ändrats de senaste åren.
Du har säkert insett att om vi kan rita ett diagram med en tidsaxel så behandlar vi tiden som en dimension, precis som temperatur och nederbörd kan vara dimensioner.

Fyra dimensioner

Även om det är svårt att tänka sig fyra dimensioner är det inget problem matematiskt, det är bara att räkna med 4 olika enheter samtidigt. Ta väderkartan igen som visar hur varmt det ska bli, hur mycket det ska blåsa och var det ska regna: själva kartan är 2 dimensioner + 1 temperaturdimension + 1 vinddimension + 1 nederbördsdimension = 5 dimensioner!!!
Med rumtiden tänkte Einstein specifikt på de tre rumsdimensionerna + tiden som en fjärde dimension.
Det är inte så tokigt som det låter. Einstein tänkte att man beskriver världen i “händelser” där man använder de tre rumskoordinaterna (x, y, z) för att beskriver var något hände och den fjärde tidskoordinaten (t) för att säga när det hände.
Ex: när jag åt lunch idag såg jag årets första fiskmås sitta på vår skorsten. Händelsen är årets första fiskmås. Med de tre x-, y-, z-axlarna kan jag beskriva exakt var vår skorsten är och med t-axeln kan jag beskriva exakt när jag såg fiskmåsen.

Det som däremot gör det krångligt är att Einstein säger att anledningen till att alla alltid tycker att ljusets hastighet är c beror på att själva rumtiden förvrids så att ljushastigheten förblir konstant. En liknelse är att precis som en tvådimensionell karta kan beskriva den tredimensionella världen, kan en tredimensionell tvättsvamp beskriva den fyrdimensionella rumtiden. En tvättsvamp kam man pressa samman och vrida ur, på ett liknande sätt kan rumtiden pressas samman och förvridas så att ljushastigheten förblir konstant.
För att förklara detta måste vi tyvärr blanda in lite matematik.

Lorentztransformationen

Innan vi fortsätter måste jag förklara vad Lorentztransformation, längdkontraktion och tidsdilatation är för något och hur man använder dem.
Jag sa tidigare att rumtiden kan liknas med en tvättsvamp som man pressar ihop. Lorentztransformationen är en ekvation som räknar fram ett värde, Gamma, som talar om hur mycket rumtiden pressas ihop. Eftersom rumtiden består av både rum och tid delar man upp den och kallar det som händer i rummet för längdkontraktion och det som händer i tiden för tidsdilatation. Jag tror det blir enklare om jag visar med ett exempel:

Om ett rymdskepp rör sig i hastigheten 0,87 c är Gamma nästan exakt 2 för rymdskeppet (exakt varför Gamma blir 2 ska jag förklara om en liten stund). Gamma 2 betyder allt man ser blir hälften så långt i färdriktningen (längdkontraktion) och allt man ser går hälften så snabbt (tidsdilatation). Hade det varit Gamma 3 hade det varit en tredjedel så långt och en tredjedel så snabbt.
Säg att Bertil och Cesar närmar sig varandra med 0,87 c.
Bertil svävar runt i sitt rymdskepp och tycker att allt är normalt, men han tycker att Cesars rymdskepp är hälften så långt i färdriktningen, men har sin vanliga längd i alla andra riktningar. Det ser tillplattat ut. Samtidigt tycker han att Cesars klocka går hälften så snabbt.
Cesar svävar runt i sitt rymdskepp och tycker att allt är normalt, men han tycker att Bertils rymdskepp är hälften så långt i färdriktningen, men har sin vanliga längd i alla andra riktningar. Det ser tillplattat ut. Samtidigt tycker han att Bertils klocka går hälften så snabbt.
Och som grädde på moset tycker bägge att ljuset från varandras ficklampor rör sig i ljusets hastighet c.

E = mc²

Först: den korrekta formeln är E² = p²c² + m²c⁴. Det är egentligen en sammanslagning av två formler: E = pc och E = mc², där pc har med ljus att göra och mc² har med massa att göra (det vi i dagligt tal och felaktigt kallar vikt).
Förutom längdkontraktion och tidsdilatation finns en tredje effekt från Einsteins formel E = mc² som gör att saker blir tyngre. Gamma 2 gör att saker blir hälften så långa, tiden går hälften så snabbt och att de blir dubbelt så tunga. Men Einsteins formel säger att massa och energi är samma sak, när något får mer massa får det samtidigt mer energi. Men man kan lika gärna vända på det: det krävs energi för att accelerera till en högre hastighet och då energi är massa får man samtidigt mer massa. Det är inte så att den ena synsättet är fel och det andra är rätt, det är bara så att energi är massa och massa är energi. De är samma sak.
Då massan inte orsakar några paradoxer så behöver vi inte ha med det i några exempel.

Elektromagnetisk strålning

Många brukar undra över att om allt ändrar storlek, tid och massa vid höga hastigheter – händer det verkligen ingenting med ljuset alls?
Jo, det händer faktiskt en sak med ljuset.
Ljus består av fotoner som är både ljuspartiklar och ljusvågor samtidigt, detta kallas ljusets dubbelnatur. I laboratorier finns det lampor som kan skicka ut en foton åt gången och det finns kameror som kan registrera en foton åt gången. Men mellan lampan och kameran är fotonen inte en partikel, utan en våg. Innan man tycker att fotoner, som är både partiklar och vågor, är väldigt speciella, bör man veta att detta gäller alla små partiklar. Elektroner är t.ex. också både partiklar och vågor samtidigt.
Först trodde man att ljusvågor fungerade som ljudvågor: om man ändrar frekvensen på ljudvågor så ändras tonen. Fler vågor per sekund, kortare vågor, ger en högre pipigare ton. Färre vågor per sekund ger en lägre dovare ton. Och ju större vågorna är desto mer låter det, högre volym, medan mindre vågor är tystare, lägre volym.
Ljus fungerar lite annorlunda: kortare ljusvågor ger blåare ljus och längre ljusvågor ger rödare ljus – det är inte så svårt att förstå. Men starkare ljus fungerar inte som vi tror. Om en lampa lyser med ett starkt sken har det inte hänt något med vågorna, bara att den starkare lampan skickar ut fler fotoner än en svagare lampa. Istället är det så att blåare ljus är mer energirikt än rödare ljus. Kom ihåg att blått ljus har mer energi än rött. Det är därför vi blir solbrända: ultraviolett ljus har ännu kortare våglängd än blått ljus, har därför ännu mer energi och därför behöver huden bli brun för att skydda sig mot den extra energin för att inte bli bränd.

När vi talar om ljus brukar vi mena det ljus vi kan se: rött, gult, grönt, blått. Men det finns ljus som vi inte kan se: ultraviolett har kortare våglängd än blått ljus och infrarött har längre våglängd än rött ljus och vi kan varken se ultraviolett eller infrarött ljus. Det synliga ljuset är bara en pytteliten del av det vi kallar elektromagnetisk strålning:
Längst vågor / minst energi:
Den kosmiska bakgrundsstrålningen (resterna från Big Bang)
Radiovågor (radio, TV, mobil)
Mikrovågor
Infrarött ljus
Synligt rött ljus
Synligt grönt ljus
Synligt blått ljus
Ultraviolett ljus
Röntgenstrålning
Gammastrålning
Kortast vågor / mest energi
Så en mobil fungerar genom att skicka ut och ta emot väldigt energifattiga fotoner. Och röntgenstrålning är farligare än ultraviolett strålning för fotonerna är energirikare.

Dopplereffekten

Om du någon gång hört sirenerna från ett utryckningsfordon, t.ex. ambulans, vet du att sirenerna låter pipigare när de kör mot dig och dovare när de kör från dig: wiiieeeuuuoooååååm. Detta beror på att ljudvågorna pressas ihop när de rör sig mot dig och kortare vågor ger pipigare ljud, medan de dras ut när de kör från dig och längre ljudvågor ger dovare ljud.
Samma sak händer med ljus: ljus från någon som rör sig mot dig pressas samman och får kortare våglängd och blir blåare. Och ljus från någon som rör sig bort från dig dras ut och får längre våglängd och blir rödare. Detta används av astronomer för att räkna ut avstånd till avlägsna galaxer: ju avlägsnare en galax är desto snabbare rör den sig bort från oss och desto rödare blir den. Detta kallas rödförskjutning, motsatsen kallas blåförskjutning och ses t.ex. från vår granngalax, Andromeda, som kommer att krocka med vår galax Vintergatan om c:a 4,5 miljarder år. Det är också därför som det nya rymdteleskopet James Webb kan se längre än det gamla rymdtelsskopet Hubble. James Webb ser bara infrarött ljus, inte vanligt ljus som Hubble. Det betyder att den har lättare att se det rödförskjutna ljuset från avlägsna galaxer och ser därför saker längre bort.

Sammanfattning vad som händer med ljus (och massa)
För att sammanfatta: om någon rör sig emot dig i en hastighet nära ljusets ökar dess massa (och därmed energi). Skickar denne ut en ljusstråle mot dig kommer ljusstrålen träffa dig i ljusets hastighet, men ljusvågorna kommer ha pressats ihop och blivit blåare och därmed energirikare. Om någon rör sig bort från dig och skickar ut ljus kommer ljuset fortfarande träffa dig i ljusets hastighet, men ljusvågorna kommer att ha dragits ut, blivit rödare och energifattigare.
Ytterligare en sak: något som har massa kan aldrig röra sig i ljusets hastighet. Om man försöker accelerera något till nära ljusets hastighet kommer det att krävas exponentiellt mer och mer energi och för att komma upp i ljusets hastighet krävas oändligt mycket energi – det är mer energi än vad som finns i hela universum. Ljus å andra sidan saknar massa och kan inte röra sig i någon annan hastighet än c. Av vad jag vet finns det ytterligare en sak som kan röra sig i ljusets hastighet: gravitationsvågor som också saknar massa.
Men nu lämnar vi rödförskjutning, blåförskjutning och massa, för de behövs inte för att förklara tvillingparadoxen.

Avancerad matematik

Om du inte tycker om Pythagoras sats kan du hoppa över denna del.
Låt oss börja med en rektangel, det är en fyrhörning med 4 rätvinkliga hörn.
Ta ett vanligt A4-papper: alla hörnen är rätvinkliga. De flesta golvytor, väggytor, fönster och dörrar är rektanglar.
Ta ett A4-papper. Kalla längden på kortsidan för x och längden för den långa sidan för y (tänk x-, och y-axel).
Dra ett streck från ena hörnet till motsatt hörn. Strecket är papprets diagonal. Kalla diagonalens längd för d.
Om man klipper längs diagonalen får man två likadana rätvinkliga trianglar som man kan använda Pythagoras sats på, men vi kan lika gärna använda Pythagoras direkt på rektangeln utan att klippa: formeln är: d² = x² + y².
Om man vill veta längden på diagonalen tar man roten ur bägge sidor: d = √(x² + y²).
Exempel: om x = 3 och y = 4, blir d = 5.
Men Pythagoras sats fungerar lika bra i flera dimensioner: d = √(x² + y² + z²)
Exempel: vi har en låda som är 1 m hög, 2 m bred, 2 m djup, vad är diagonalen? x = 1, y = 2, z = 2, ger d = 3.
Faktum är att samma formel gäller för alla dimensioner, men den 4-dimensionella rumtiden ställer till ett litet problem: x-, y-, och z-axlarna är längdenheter som mäts i meter, men t-axeln är en tidsenhet som mäts i sekunder. Vad är 1 m + 1 s? Finns det något sätt att göra om tid till längd?
Om en bil kör 1 timme (tid) i 100 km/tim (hastighet) kommer den 100 km (längd). Så: tid * hastighet = längd. Men vilken hastighet ska vi använda? Vad sägs om ljusets, c?
Faktum är att det är nästan så enkelt, förutom att det dyker upp ett minustecken:
d = √(x² + y² + z² – (ct)²)
eller:
d = √(x² + y² + z² – c²t²)
Varför blir det ett minustecken? För att vi inte längre räknar med euklidisk geometri, utan hyperbolisk.
Ett enklare sätt att förklara är att det är +(ict)² och i² = -1.
Vad betyder d i den 4-dimensionella rumtiden? Kommer ni ihåg att Einstein tänkte sig 4-dimensionella “händelser”? Det är avståndet mellan två händelser.
Vi behöver inte gå in på när man ska använda ekvationen, det intressanta för oss är att man kan härleda Lorentztransformationen från den.
Något annat som är intressant är att minustecknet gör att d kan vara positivt, 0, eller negativt.
Om d är 0 betyder det att de två händelserna förhåller sig till varandra att en ljusstråle precis tar sig från den första händelsen till den andra händelsen.
Om d är negativt betyder det att man kan ta sig mellan händelserna i underljudsfart.
Om d är positivt betyder det att enda sättet att ta sig mellan händelserna är i överljusfart, vilket är fysiskt omöjligt enligt Einstein.

Gamma

Åter till Lorentztransformationens ekvation:

Gamma = 1/ROT)

γ = 1/√(1-(v²/c²))

Du behöver inte förstå hur man räknar med ekvationen, men om du förstår kan du själv räkna ut Gamma.

Låt oss gå igenom variablerna i ekvationen:
Gamma är den grekiska bokstaven γ och kallas även Lorentzfaktorn. Det är vad vi vill räkna ut vid en specifik hastighet.
För varje hastighet v kan man räkna ut Gamma.
Slutligen har vi med c, ljusets hastighet.

Det är enklare att räkna med hastigheten v som en del av ljushastigheten. om något rör sig i halva ljushastigheten är det enklare med 0,5 c, istället för 150000 km/s.

Jag sa tidigare att 0,87 c gav ungefär 2.
0,87 c ger Gamma 2,028, vilket är lite mer.
0,866 c ger Gamma 1,9998, vilket är lite mindre.
Exakt Gamma 2 fås om hastigheten är roten ur 0,75.

Gamma vid olika hastigheter

0,01 c => Gamma 1,00005
0,1 c => Gamma 1,005
0,5 c => Gamma 1,1547
0,6 c => Gamma 1,25
0,7 c => Gamma 1,4
0,8 c => Gamma 1,667
0,867 c => Gamma 2,007
0,943 c => Gamma 3,005
0,969 c => Gamma 4,05
0,980 c => Gamma 5,03
0,990 c => Gamma 7,09
0,999 c => Gamma 22,37
1 c => ERROR!!!

Som ni ser är Gamma knappt märkbart för hastigheter under 0,1 c, för att sedan stiga jättesnabbt för hastigheter över 0,9 c.
Observera att försöker man åka i ljusets hastighet, v = c, så måste man dela med noll i ekvationen, och det kan man inte.

Verkligheten

Nu har vi räknat ut Gamma och ser att det ger jättekonstiga effekter för Adam, Bertil och Cesar när de rör sig i rymdskepp nära ljusets hastighet, men det är ju bara hittepå och det finns inga rymdskepp som kan röra sig nära ljusets hastighet. Hur vet vi att Einstein hade rätt?

En jättebra fråga, men tyvärr måste jag krångla till det hela lite. Kommer ni ihåg att den speciella relativitetsteorin är ett specialfall av den allmänna relativitetsteorin? Det betyder att om man lyckas bevisa den allmänna relativitetsteorin har man samtidigt bevisat den speciella. Det betyder att de första bevisen var för den allmänna relativitetsteorin:

Merkurius bana

Redan för ett par hundra år sedan kunde vi räkna ut jordens exakta bana runt solen och månens exakta bana runt jorden med Newtons ekvationer: den klassiska fysiken. Faktum är att för alla rymdresor till månen och mars, Jupiter och Pluto som vi genomfört har det räckt med Newtons ekvationer. Med ett undantag: Merkurius bana runt solen. Merkurius är den planet som är närmast solen och länge trodde man att det fanns en planet innanför Merkurius som störde Merkurius bana. Men när Einstein 1915 kunde räkna ut Merkurius bana exakt med hjälp av den allmänna relativitetsteorin så visste han att hade rätt. Förklaringen är att Merkurius är så nära solen att man måste räkna med solens gravitation.

Solförmörkelsen 1919

Nästa bevis kom när man fotograferade en solförmörkelse och kunde se stjärnor bredvid solen som borde ligga dolda bakom solen, men vars ljus hade blivit böjt av solens gravitation så det såg ut som de låg bredvid. Effekten kallas gravitationslins och du kan själv se fenomenet om du bildgooglar “einstein ring” och “einstein cross”, men nu är det inte stjärnor bakom stjärnor, utan galaxer långt bort som får sitt ljus böjt av galaxer framför.

Kartor och GPS

Nästa bevis finns antagligen i din ficka, eller rent utav i din hand: en vanlig mobiltelefon. Alla mobiltelefoner idag har kartprogram och med hjälp av GPS kan man se exakt var man är på en meter när. Positionsbestämningen går till så att mobilen använder “triangulering” mellan flera GPS-satelliter³ för att beräkna var man är i förhållande till satelliterna. Problemet är att det är lite lägre gravitation uppe hos satelliterna än nere på jorden (ju längre bort från jorden, desto svagare blir jordens gravitation). Även om skillnaden är minimal är den tillräckligt stor för att det ska uppstå relativistiska effekter som tidsdilatation. Kort sagt går GPS-satelliternas klockor lite snabbare än här nere på jorden. Om inte din mobiltelefon korrigerar för skillnaden i tid kommer kommer snabbt din position i kartprogrammet visa fel. Vi pratar ett hundratal meter fel efter bara någon dag.

³ I ärlighetens namn använder mobiler både GPS-satelliter och mobilmaster för att räkna ut var man är, men finns det inge mobilmaster i närheten kan mobilen fortfarande bestämma var man är bara med hjälp av satelliterna.

Men finns det några bevis där man bara har den speciella relativitetsteorin och inte den allmänna? Jo, det finns.

Magnetism runt elektriska ledningar

Om man har en vanlig orienteringskompass och lägger den bredvid en elektrisk ledning (helst en ledning med likström, som för mobilladdare, inte vanlig växelström som i vägguttag), så beter sig kompassnålen väldigt konstigt. Det beror på att det bildas ett magnetfält runt en kopparledning som det går ström i. Magnetfältet kan förklaras med den speciella relativitetsteorin: ström är elektroner som rör sig jättesnabbt i en ledning, faktum är att de rör sig så snabbt att det uppstår relativistiska effekter som tidsdilatation och längdkontraktion mellan elektronerna och ledningen. Magnetfältet är ett direkt resultat av de relativistiska effekterna från elektronerna.

Muoner

Vid CERN, på gränsen mellan Frankrike och Schweiz, finns världens största partikelaccelerator: LHC. Det är en jättestor ring, mer än 5 km i diameter, på mer än 100 m djup. Här accelererar man protoner åt varsitt håll i ringen och låter dem kollidera i en hastighet av 0,99999999 c ( 8 st 9:or), vilket ger Gamma på runt 7000. När de kolliderar blir det en väldig explosion – på atomnivå. Vid kollisionen bildas det massor med exotiska partiklar som vi inte kan studera någon annanstans. En av dessa partiklar är Muonen, som kan beskrivas som en jättestor elektron (c:a 200 gånger större) med en livstid på c:a 2 mikrosekunder.
Det finns faktiskt en annan plats där det bildas exotiska elementarpartiklar: högt upp i vår atmosfär när kosmisk strålning träffar jorden. Vi bombarderas hela tiden av protoner från rymden, som exploderar när de träffar våra yttersta luftmolekyler och det bildas exotiska partiklar som muoner. Nu är muonens livslängd så kort att den hinner inte ner till jordens yta innan den slutar att existera, vilket gör det lite svårt för oss att detektera muoner. Döm om vår förvåning när vi ändå kunde detektera muoner här nere. Förklaringen är att de rör sig så snabbt att det får relativistiska effekter: Dels längdkontraktion, muonen tycker att avståndet ner till jorden är mycket kortare. Dels tidsdilatation, muonens livslängd blir mycket längre. Tillsammans gör dessa två att Muonen hinner ner till jordens yta innan dess livstid tar slut.

Statistik om viruset SARS-CoV-2 som ger upphov till sjukdomen covid-19 (jämför: viruset HIV ger sjukdomen AIDS).
Sverigestatistiken kommer från FHM.
Världstatistiken kommer från World-o-Meter.

Länkar
Folkhälsomyndigheten (uppdateras 1g/dag
World-o-Meter (bra samling med massor med siffror)
Region Stockholm
SVT (hämtar siffror från ECDC och John Hopkins)
ECDC (uppdateras 1g/dag)
WHO (uppdateras 1g/dag)
John Hopkins CSSE Gis and Data (krävs “personlig” länk)

Legend
Promille är antalet som testat positivt per 1000 innevånare.
För Sverige har jag använt SCBs befolkningsunderlag från 01 mars 2020. World-o-Meter använder lite äldre siffror.
Jag mäter skillnaden mellan antalet bekräftade fall mellan 8 dagar sedan och 1 dag sedan, d.v.s. hur mycket det ökat på en vecka, både i faktiska tal och i procent.
Jag jämför också antalet nya fall senaste veckan jämfört med veckan innan.
För att kunna jämföra 2 veckor bakåt måste jag ha data för de 15 senaste dagarna, vilket jag ännu inte har.

Region Stockholm rapporterar bara veckovis

Stockholms kommun från 23 april

Promille Stadsdel Totalt
2.6 Bromma 206
3.1 Enskede-Årsta-Vantör 314
3.0 Farsta 180
2.2 Hägersten-Liljeholmen 202
3.1 Hässelby-Vällingby 236
2.5 Kungsholmen 177
3.2 Norrmalm 257
7.4 Rinkeby-Kista 378
2.6 Skarpnäck 122
3.8 Skärholmen 143
5.9 Spånga-Tensta 226
2.6 Södermalm 341
3.6 Älvsjö 113
2.8 Östermalm 215

3.2 Stockholms kommun 3110

Stockholms län från 23 april

Promille Kommun Totalt
3.7 Botkyrka 348
2.4 Danderyd 78
1.8 Ekerö 51
2.7 Haninge 245
2.9 Huddinge 322
3.1 Järfälla 247
3.3 Lidingö 157
2.6 Nacka 276
1.0 Norrtälje 64
2.3 Nykvarn 25
1.0 Nynäshamn 28
3.5 Salem 58
3.2 Sigtuna 155
3.4 Sollentuna 249
3.4 Solna 277
3.2 Stockholm 3110
4.3 Sundbyberg 225
4.1 Södertälje 404
3.3 Tyresö 159
2.4 Täby 170
2.7 Upplands Bro 80
3.1 Upplands Väsby 147
1.2 Vallentuna 41
3.5 Vaxholm 42
2.2 Värmdö 100
1.4 Österåker 65

3.0 Stockholm län 7326

Statistik från 04 maj

Sverige

Statistik från Folkhälsomyndigheten
Promille Län 27apr +ökning= 04maj +Procent (DIFF) Diff%
3.63 ‰ Stockholm … 7378 + 1158 = 8536 … +15.70 % …( -228 ) … -16.45 %
2.95 ‰ Västmanl … 702 + 107 = 809 … +15.24 % …( -67 ) … -38.51 %
3.24 ‰ Östergötland … 1365 + 134 = 1499 … +9.82 % …( -57 ) … -29.84 %
2.98 ‰ Dalarna … 689 + 167 = 856 … +24.24 % …( -31 ) … -15.66 %
2.82 ‰ Uppsala … 882 + 186 = 1068 … +21.09 % …( -29 ) … -13.49 %
4.35 ‰ Sörmland … 1092 + 193 = 1285 … +17.67 % …( -15 ) … -7.21 %
1.22 ‰ Västerbotten … 293 + 37 = 330 … +12.63 % …( -15 ) … -28.85 %
2.34 ‰ Jönköping … 682 + 164 = 846 … +24.05 % …( -13 ) … -7.34 %
3.67 ‰ Örebro … 877 + 234 = 1111 … +26.68 % …( -13 ) … -5.26 %
0.46 ‰ Blekinge … 64 + 10 = 74 … +15.63 % …( -11 ) … -52.38 %
0.76 ‰ Kalmar … 146 + 41 = 187 … +28.08 % …( -7 ) … -14.58 %
1.12 ‰ Västernorrl … 210 + 66 = 276 … +31.43 % …( -5 ) … -7.04 %
1.59 ‰ Västra Götal … 2101 + 619 = 2720 … +29.46 % …( -4 ) … -0.64 %
1.08 ‰ Norrbotten … 233 + 38 = 271 … +16.31 % …( -1 ) … -2.56 %
1.77 ‰ Kronoberg … 263 + 91 = 354 … +34.60 % … ( +3 ) … +3.41 %
2.21 ‰ Gävleborg … 520 + 115 = 635 … +22.12 % … ( +6 ) … +5.50 %
2.75 ‰ Jämtl Härjed … 281 + 78 = 359 … +27.76 % … ( +10 ) … +14.71 %
0.91 ‰ Gotland … 28 + 26 = 54 … +92.86 % … ( +17 ) … +188.89 %
1.17 ‰ Halland … 305 + 82 = 387 … +26.89 % … ( +18 ) … +28.13 %
0.73 ‰ Värmland … 136 + 71 = 207 … +52.21 % … ( +40 ) … +129.03 %
0.63 ‰ Skåne … 679 + 178 = 857 … +26.22 % … ( +48 ) … +36.92 %

2.22 ‰ Sverige … 18926 + 3795 = 22721 … +20.05 % …( -354 ) … -8.53 %

Världen

Statistik från Worldometer

Uppdelat på 7 listor:

- Världen.
- Friskförklarade länder.
- Länder utan nya fall senaste veckan.
- Länder med få nya fall, max 7 till senaste veckan.
- Länder där det vänt och antalet nya fall minskar.
- Länder på toppen, med väldigt liten ökning.
- Länder där det ökar.

Promille Länder 27apr +ökning= 04maj +Procent (Diff) Diff%
0.47 ‰ World … 3062514 + 580757 = 3643271 … +18.96 % …( -1254 ) … -0.22 %

Friskförklarade länder (5 st)
Promille Länder 27apr +ökning= 04maj +Procent (Diff) Diff%
0.20 ‰ Anguilla … 3 + 0 = 3 … +0.00 % … ( +0 ) … +0.00 %
3.74 ‰ Falkland Islands … 13 + 0 = 13 … +0.00 % …( -2 ) … -100.00 %
0.19 ‰ Greenland … 11 + 0 = 11 … +0.00 % … ( +0 ) … +0.00 %
0.61 ‰ St. Barth … 6 + 0 = 6 … +0.00 % … ( +0 ) … +0.00 %
0.02 ‰ Suriname … 10 + 0 = 10 … +0.00 % … ( +0 ) … +0.00 %

Länder utan nya fall senaste veckan (28 st)
Promille Länder 27apr +ökning= 04maj +Procent (Diff) Diff%
0.94 ‰ Aruba … 100 + 0 = 100 … +0.00 % …( -3 ) … -100.00 %
0.05 ‰ Belize … 18 + 0 = 18 … +0.00 % … ( +0 ) … +0.00 %
0.01 ‰ Bhutan … 7 + 0 = 7 … +0.00 % …( -2 ) … -100.00 %
0.20 ‰ British Virgin Islands … 6 + 0 = 6 … +0.00 % …( -1 ) … -100.00 %
0.32 ‰ Brunei … 138 + 0 = 138 … +0.00 % … ( +0 ) … +0.00 %
0.01 ‰ Cambodia … 122 + 0 = 122 … +0.00 % … ( +0 ) … +0.00 %
0.10 ‰ Curaçao … 16 + 0 = 16 … +0.00 % …( -2 ) … -100.00 %
0.22 ‰ Dominica … 16 + 0 = 16 … +0.00 % … ( +0 ) … +0.00 %
0.01 ‰ Eritrea … 39 + 0 = 39 … +0.00 % … ( +0 ) … +0.00 %
3.83 ‰ Faeroe Islands … 187 + 0 = 187 … +0.00 % …( -2 ) … -100.00 %
0.02 ‰ Fiji … 18 + 0 = 18 … +0.00 % … ( +0 ) … +0.00 %
0.21 ‰ French Polynesia … 58 + 0 = 58 … +0.00 % …( -2 ) … -100.00 %
0.00 ‰ Laos … 19 + 0 = 19 … +0.00 % … ( +0 ) … +0.00 %
2.15 ‰ Liechtenstein … 82 + 0 = 82 … +0.00 % …( -1 ) … -100.00 %
0.07 ‰ Macao … 45 + 0 = 45 … +0.00 % … ( +0 ) … +0.00 %
2.42 ‰ Monaco … 95 + 0 = 95 … +0.00 % …( -1 ) … -100.00 %
2.20 ‰ Montserrat … 11 + 0 = 11 … +0.00 % … ( +0 ) … +0.00 %
0.01 ‰ Namibia … 16 + 0 = 16 … +0.00 % … ( +0 ) … +0.00 %
0.06 ‰ New Caledonia … 18 + 0 = 18 … +0.00 % … ( +0 ) … +0.00 %
0.00 ‰ Papua New Guinea … 8 + 0 = 8 … +0.00 % …( -1 ) … -100.00 %
0.28 ‰ Saint Kitts and Nevis … 15 + 0 = 15 … +0.00 % … ( +0 ) … +0.00 %
0.98 ‰ Saint Martin … 38 + 0 = 38 … +0.00 % …( -1 ) … -100.00 %
0.17 ‰ Saint Pierre Miquelon … 1 + 0 = 1 … +0.00 % … ( +0 ) … +0.00 %
0.11 ‰ Seychelles … 11 + 0 = 11 … +0.00 % … ( +0 ) … +0.00 %
0.02 ‰ Timor-Leste … 24 + 0 = 24 … +0.00 % …( -2 ) … -100.00 %
0.08 ‰ Trinidad and Tobago … 116 + 0 = 116 … +0.00 % …( -2 ) … -100.00 %
0.31 ‰ Turks and Caicos … 12 + 0 = 12 … +0.00 % …( -1 ) … -100.00 %
0.01 ‰ Western Sahara … 6 + 0 = 6 … +0.00 % … ( +0 ) … +100.00 %

Länder med få nya fall (32 st)
Promille Länder 27apr +ökning= 04maj +Procent (Diff) Diff%
0.26 ‰ Antigua and Barbuda … 24 + 1 = 25 … +4.17 % … ( +0 ) … +0.00 %
0.01 ‰ Botswana … 22 + 1 = 23 … +4.55 % …( -1 ) … -50.00 %
0.23 ‰ Caribbean Netherlands … 5 + 1 = 6 … +20.00 % … ( +1 ) … +0.00 %
0.00 ‰ Mauritania … 7 + 1 = 8 … +14.29 % … ( +1 ) … +0.00 %
0.00 ‰ Syria … 43 + 1 = 44 … +2.33 % …( -3 ) … -75.00 %
0.00 ‰ Vietnam … 270 + 1 = 271 … +0.37 % …( -1 ) … -50.00 %
0.29 ‰ Barbados … 80 + 2 = 82 … +2.50 % …( -3 ) … -60.00 %
0.01 ‰ Libya … 61 + 2 = 63 … +3.28 % …( -8 ) … -80.00 %
0.01 ‰ Mongolia … 38 + 2 = 40 … +5.26 % …( -3 ) … -60.00 %
0.51 ‰ Montenegro … 321 + 2 = 323 … +0.62 % …( -7 ) … -77.78 %
0.00 ‰ Nicaragua … 13 + 2 = 15 … +15.38 % …( -1 ) … -33.33 %
1.77 ‰ Sint Maarten … 74 + 2 = 76 … +2.70 % …( -5 ) … -71.43 %
0.15 ‰ St. Vincent Grenadines … 15 + 2 = 17 … +13.33 % …( -1 ) … -33.33 %
13.73 ‰ Vatican City … 9 + 2 = 11 … +22.22 % … ( +2 ) … +0.00 %
0.21 ‰ Bahamas … 80 + 3 = 83 … +3.75 % …( -17 ) … -85.00 %
0.00 ‰ Comoros … 0 + 3 = 3 … +100.00 % … ( +3 ) … +100.00 %
4.27 ‰ Gibraltar … 141 + 3 = 144 … +2.13 % …( -6 ) … -66.67 %
0.19 ‰ Grenada … 18 + 3 = 21 … +16.67 % …( -1 ) … -25.00 %
0.38 ‰ Guadeloupe … 149 + 3 = 152 … +2.01 % … ( +2 ) … +200.00 %
0.14 ‰ Hong Kong … 1038 + 3 = 1041 … +0.29 % …( -9 ) … -75.00 %
0.10 ‰ Saint Lucia … 15 + 3 = 18 … +20.00 % … ( +3 ) … +100.00 %
0.00 ‰ Zimbabwe … 31 + 3 = 34 … +9.68 % …( -3 ) … -50.00 %
0.00 ‰ Burundi … 11 + 4 = 15 … +36.36 % …( -2 ) … -33.33 %
0.00 ‰ Mozambique … 76 + 4 = 80 … +5.26 % …( -33 ) … -89.19 %
1.85 ‰ Bermuda … 110 + 5 = 115 … +4.55 % …( -19 ) … -79.17 %
1.14 ‰ Cayman Islands … 70 + 5 = 75 … +7.14 % … ( +1 ) … +25.00 %
0.00 ‰ Malawi … 36 + 5 = 41 … +13.89 % …( -14 ) … -73.68 %
0.48 ‰ Martinique … 175 + 6 = 181 … +3.43 % …( -6 ) … -50.00 %
0.47 ‰ Réunion … 418 + 6 = 424 … +1.44 % …( -4 ) … -40.00 %
9.71 ‰ Andorra … 743 + 7 = 750 … +0.94 % …( -19 ) … -73.08 %
0.01 ‰ Gambia … 10 + 7 = 17 … +70.00 % … ( +7 ) … +100.00 %
5.27 ‰ Iceland … 1792 + 7 = 1799 … +0.39 % …( -12 ) … -63.16 %

Länder där de nya fallen minskar (59 st)
Promille Länder 27apr +ökning= 04maj +Procent (Diff) Diff%
3.66 ‰ USA … 1010356 + 202479 = 1212835 … +20.04 % …( -15118 ) … -6.95 %
5.31 ‰ Spain … 229422 + 18879 = 248301 … +8.23 % …( -10333 ) … -35.37 %
2.60 ‰ France … 165842 + 3620 = 169462 … +2.18 % …( -6839 ) … -65.39 %
1.51 ‰ Turkey … 112261 + 15398 = 127659 … +13.72 % …( -5883 ) … -27.64 %
3.51 ‰ Italy … 199414 + 12524 = 211938 … +6.28 % …( -5662 ) … -31.13 %
1.98 ‰ Germany … 158758 + 7394 = 166152 … +4.66 % …( -4299 ) … -36.77 %
4.34 ‰ Belgium … 46687 + 3580 = 50267 … +7.67 % …( -3124 ) … -46.60 %
2.38 ‰ Netherlands … 38245 + 2525 = 40770 … +6.60 % …( -2315 ) … -47.83 %
4.41 ‰ Ireland … 19648 + 2124 = 21772 … +10.81 % …( -1872 ) … -46.85 %
2.50 ‰ Portugal … 24027 + 1497 = 25524 … +6.23 % …( -1667 ) … -52.69 %
1.88 ‰ Israel … 15555 + 691 = 16246 … +4.44 % …( -1151 ) … -62.49 %
0.12 ‰ Japan … 13614 + 1464 = 15078 … +10.75 % …( -1015 ) … -40.94 %
1.17 ‰ Iran … 91472 + 7175 = 98647 … +7.84 % …( -792 ) … -9.94 %
3.46 ‰ Switzerland … 29164 + 817 = 29981 … +2.80 % …( -403 ) … -33.03 %
1.09 ‰ Serbia … 8275 + 1282 = 9557 … +15.49 % …( -363 ) … -22.07 %
2.25 ‰ Sweden … 18926 + 3795 = 22721 … +20.05 % …( -354 ) … -8.53 %
0.70 ‰ Romania … 11339 + 2173 = 13512 … +19.16 % …( -230 ) … -9.57 %
1.67 ‰ Denmark … 8698 + 972 = 9670 … +11.17 % …( -211 ) … -17.84 %
0.37 ‰ Poland … 11902 + 2104 = 14006 … +17.68 % …( -205 ) … -8.88 %
0.96 ‰ Finland … 4695 + 632 = 5327 … +13.46 % …( -195 ) … -23.58 %
0.25 ‰ Greece … 2534 + 98 = 2632 … +3.87 % …( -191 ) … -66.09 %
0.26 ‰ Slovakia … 1381 + 32 = 1413 … +2.32 % …( -176 ) … -84.62 %
0.73 ‰ Czechia … 7445 + 374 = 7819 … +5.02 % …( -171 ) … -31.38 %
1.05 ‰ Moldova … 3481 + 767 = 4248 … +22.03 % …( -166 ) … -17.79 %
0.52 ‰ Lithuania … 1449 - 30 = 1419 … -2.07 % …( -153 ) … -124.39 %
0.31 ‰ Hungary … 2583 + 452 = 3035 … +17.50 % …( -147 ) … -24.54 %
0.24 ‰ Bulgaria … 1363 + 289 = 1652 … +21.20 % …( -145 ) … -33.41 %
0.08 ‰ Cameroon … 1705 + 399 = 2104 … +23.40 % …( -143 ) … -26.38 %
0.14 ‰ Morocco … 4120 + 933 = 5053 … +22.65 % …( -141 ) … -13.13 %
1.46 ‰ Norway … 7599 + 305 = 7904 … +4.01 % …( -138 ) … -31.15 %
1.73 ‰ Austria … 15274 + 347 = 15621 … +2.27 % …( -132 ) … -27.56 %
0.23 ‰ Equatorial Guinea … 258 + 57 = 315 … +22.09 % …( -122 ) … -68.16 %
1.13 ‰ Djibouti … 1035 + 81 = 1116 … +7.83 % …( -108 ) … -57.14 %
0.51 ‰ Croatia … 2039 + 62 = 2101 … +3.04 % …( -96 ) … -60.76 %
0.11 ‰ Argentina … 4003 + 884 = 4887 … +22.08 % …( -88 ) … -9.05 %
0.28 ‰ Albania … 736 + 67 = 803 … +9.10 % …( -85 ) … -55.92 %
0.04 ‰ Thailand … 2931 + 56 = 2987 … +1.91 % …( -83 ) … -59.71 %
6.12 ‰ Luxembourg … 3729 + 99 = 3828 … +2.65 % …( -72 ) … -42.11 %
1.28 ‰ Estonia … 1647 + 56 = 1703 … +3.40 % …( -56 ) … -50.00 %
0.73 ‰ North Macedonia … 1399 + 119 = 1518 … +8.51 % …( -55 ) … -31.61 %
0.06 ‰ China … 82830 + 50 = 82880 … +0.06 % …( -33 ) … -39.76 %
0.09 ‰ Tunisia … 967 + 51 = 1018 … +5.27 % …( -32 ) … -38.55 %
17.15 ‰ San Marino … 538 + 44 = 582 … +8.18 % …( -32 ) … -42.11 %
0.69 ‰ Slovenia … 1402 + 37 = 1439 … +2.64 % …( -30 ) … -44.78 %
0.15 ‰ Cuba … 1389 + 279 = 1668 … +20.09 % …( -23 ) … -7.62 %
0.19 ‰ Uruguay … 606 + 51 = 657 … +8.42 % …( -20 ) … -28.17 %
3.13 ‰ Channel Islands … 525 + 19 = 544 … +3.62 % …( -18 ) … -48.65 %
0.04 ‰ Congo … 207 + 29 = 236 … +14.01 % …( -18 ) … -38.30 %
0.03 ‰ Burkina Faso … 635 + 37 = 672 … +5.83 % …( -17 ) … -31.48 %
0.05 ‰ Ivory Coast … 1164 + 268 = 1432 … +23.02 % …( -17 ) … -5.96 %
0.01 ‰ Venezuela … 329 + 28 = 357 … +8.51 % …( -16 ) … -36.36 %
0.00 ‰ Myanmar … 146 + 15 = 161 … +10.27 % …( -12 ) … -44.44 %
0.31 ‰ New Zealand … 1469 + 18 = 1487 … +1.23 % …( -11 ) … -37.93 %
0.26 ‰ Mauritius … 334 - 2 = 332 … -0.60 % …( -8 ) … -133.33 %
0.05 ‰ Jordan … 449 + 16 = 465 … +3.56 % …( -8 ) … -33.33 %
0.00 ‰ Uganda … 79 + 18 = 97 … +22.78 % …( -5 ) … -21.74 %
0.11 ‰ Lebanon … 710 + 30 = 740 … +4.23 % …( -3 ) … -9.09 %
0.21 ‰ S. Korea … 10738 + 63 = 10801 … +0.59 % …( -1 ) … -1.56 %
0.48 ‰ Latvia … 818 + 78 = 896 … +9.54 % …( -1 ) … -1.27 %

Länder på toppen (14 st)
Promille Länder 27apr +ökning= 04maj +Procent (Diff) Diff%
0.03 ‰ Niger … 701 + 54 = 755 … +7.70 % … ( +1 ) … +1.89 %
0.02 ‰ Taiwan … 429 + 9 = 438 … +2.10 % … ( +2 ) … +28.57 %
0.72 ‰ Cyprus … 822 + 52 = 874 … +6.33 % … ( +2 ) … +4.00 %
0.00 ‰ Ethiopia … 124 + 16 = 140 … +12.90 % … ( +3 ) … +23.08 %
0.07 ‰ Uzbekistan … 1904 + 285 = 2189 … +14.97 % … ( +8 ) … +2.89 %
0.13 ‰ Kyrgyzstan … 695 + 135 = 830 … +19.42 % … ( +8 ) … +6.30 %
3.82 ‰ Isle of Man … 308 + 17 = 325 … +5.52 % … ( +9 ) … +112.50 %
0.27 ‰ Australia … 6720 + 105 = 6825 … +1.56 % … ( +10 ) … +10.53 %
0.15 ‰ Costa Rica … 697 + 45 = 742 … +6.46 % … ( +10 ) … +28.57 %
1.09 ‰ Malta … 450 + 30 = 480 … +6.67 % … ( +11 ) … +57.89 %
0.01 ‰ Madagascar … 128 + 21 = 149 … +16.41 % … ( +14 ) … +200.00 %
0.20 ‰ Azerbaijan … 1678 + 306 = 1984 … +18.24 % … ( +64 ) … +26.45 %
0.07 ‰ Palestine … 342 + 20 = 362 … +5.85 % … ( +127 ) … -118.69 %
0.20 ‰ Malaysia … 5820 + 533 = 6353 … +9.16 % … ( +138 ) … +34.94 %

Länder där det ökar (74 st)
Promille Länder 27apr +ökning= 04maj +Procent (Diff) Diff%
0.15 ‰ Georgia … 497 + 96 = 593 … +19.32 % … ( +1 ) … +1.05 %
0.45 ‰ French Guiana … 111 + 22 = 133 … +19.82 % … ( +8 ) … +57.14 %
2.81 ‰ UK … 157149 + 33435 = 190584 … +21.28 % … ( +1029 ) … +3.18 %
0.09 ‰ Philippines … 7777 + 1708 = 9485 … +21.96 % … ( +390 ) … +29.59 %
0.59 ‰ Bosnia and Herzegovina … 1565 + 361 = 1926 … +23.07 % … ( +105 ) … +41.02 %
0.12 ‰ Guyana … 74 + 18 = 92 … +24.32 % … ( +9 ) … +100.00 %
1.67 ‰ Panama … 5779 + 1418 = 7197 … +24.54 % … ( +106 ) … +8.08 %
1.61 ‰ Canada … 48500 + 12272 = 60772 … +25.30 % … ( +601 ) … +5.15 %
0.02 ‰ Rwanda … 207 + 54 = 261 … +26.09 % …( -6 ) … -10.00 %
0.06 ‰ Iraq … 1847 + 499 = 2346 … +27.02 % … ( +226 ) … +82.78 %
0.04 ‰ Indonesia … 9096 + 2491 = 11587 … +27.39 % … ( +155 ) … +6.64 %
0.04 ‰ Sri Lanka … 588 + 163 = 751 … +27.72 % …( -121 ) … -42.61 %
0.02 ‰ Togo … 98 + 28 = 126 … +28.57 % … ( +14 ) … +100.00 %
0.52 ‰ Oman … 2049 + 588 = 2637 … +28.70 % …( -51 ) … -7.98 %
0.00 ‰ Angola … 27 + 8 = 35 … +29.63 % … ( +5 ) … +166.67 %
2.08 ‰ Bahrain … 2723 + 810 = 3533 … +29.75 % …( -6 ) … -0.74 %
3.21 ‰ Singapore … 14423 + 4355 = 18778 … +30.19 % …( -2054 ) … -32.05 %
0.76 ‰ Dominican Republic … 6293 + 1942 = 8235 … +30.86 % … ( +613 ) … +46.12 %
0.11 ‰ Algeria … 3517 + 1131 = 4648 … +32.16 % … ( +332 ) … +41.55 %
0.03 ‰ Liberia … 124 + 42 = 166 … +33.87 % … ( +17 ) … +68.00 %
0.16 ‰ Jamaica … 350 + 119 = 469 … +34.00 % …( -8 ) … -6.30 %
0.01 ‰ Kenya … 363 + 127 = 490 … +34.99 % … ( +45 ) … +54.88 %
0.01 ‰ Haiti … 74 + 26 = 100 … +35.14 % … ( +9 ) … +52.94 %
1.49 ‰ UAE … 10839 + 3891 = 14730 … +35.90 % … ( +317 ) … +8.87 %
0.28 ‰ Ukraine … 9009 + 3322 = 12331 … +36.87 % … ( +23 ) … +0.70 %
1.81 ‰ Ecuador … 23240 + 8641 = 31881 … +37.18 % …( -4471 ) … -34.10 %
0.85 ‰ Armenia … 1808 + 699 = 2507 … +38.66 % … ( +230 ) … +49.04 %
0.04 ‰ Guatemala … 500 + 203 = 703 … +40.60 % …( -8 ) … -3.79 %
0.03 ‰ Mali … 408 + 172 = 580 … +42.16 % … ( +10 ) … +6.17 %
0.16 ‰ Colombia … 5597 + 2376 = 7973 … +42.45 % … ( +756 ) … +46.67 %
0.07 ‰ Egypt … 4782 + 2031 = 6813 … +42.47 % … ( +582 ) … +40.17 %
0.22 ‰ Kazakhstan … 2835 + 1214 = 4049 … +42.82 % … ( +231 ) … +23.50 %
5.62 ‰ Qatar … 11244 + 4947 = 16191 … +44.00 % …( -282 ) … -5.39 %
0.00 ‰ Nepal … 52 + 23 = 75 … +44.23 % … ( +2 ) … +9.52 %
0.13 ‰ Guinea … 1163 + 547 = 1710 … +47.03 % … ( +6 ) … +1.11 %
0.01 ‰ DRC … 459 + 223 = 682 … +48.58 % … ( +96 ) … +75.59 %
1.08 ‰ Chile … 13813 + 6830 = 20643 … +49.45 % … ( +3524 ) … +106.59 %
0.01 ‰ Benin … 64 + 32 = 96 … +50.00 % … ( +22 ) … +220.00 %
0.10 ‰ Pakistan … 13915 + 7026 = 20941 … +50.49 % … ( +2003 ) … +39.88 %
0.12 ‰ South Africa … 4793 + 2427 = 7220 … +50.64 % … ( +934 ) … +62.56 %
0.82 ‰ Saudi Arabia … 18811 + 9845 = 28656 … +52.34 % … ( +1518 ) … +18.23 %
1.85 ‰ Belarus … 11289 + 6200 = 17489 … +54.92 % … ( +1175 ) … +23.38 %
0.01 ‰ Zambia … 88 + 49 = 137 … +55.68 % … ( +26 ) … +113.04 %
0.05 ‰ Somalia … 480 + 276 = 756 … +57.50 % … ( +33 ) … +13.58 %
0.03 ‰ India … 29451 + 16986 = 46437 … +57.68 % … ( +6074 ) … +55.66 %
0.11 ‰ Honduras … 661 + 394 = 1055 … +59.61 % … ( +210 ) … +114.13 %
0.18 ‰ Mexico … 14677 + 8794 = 23471 … +59.92 % … ( +2378 ) … +37.06 %
1.24 ‰ Kuwait … 3288 + 1990 = 5278 … +60.52 % … ( +697 ) … +53.91 %
0.01 ‰ Tanzania … 299 + 181 = 480 … +60.54 % … ( +136 ) … +302.22 %
0.32 ‰ Cabo Verde … 109 + 66 = 175 … +60.55 % … ( +24 ) … +57.14 %
0.51 ‰ Brazil … 66501 + 41765 = 108266 … +62.80 % … ( +16007 ) … +62.14 %
1.44 ‰ Peru … 28699 + 18673 = 47372 … +65.06 % … ( +6299 ) … +50.91 %
1.00 ‰ Russia … 87147 + 58121 = 145268 … +66.69 % … ( +18095 ) … +45.21 %
0.14 ‰ Bolivia … 950 + 644 = 1594 … +67.79 % … ( +258 ) … +66.84 %
0.07 ‰ Afghanistan … 1703 + 1191 = 2894 … +69.94 % … ( +514 ) … +75.92 %
0.02 ‰ CAR … 50 + 35 = 85 … +70.00 % …( -3 ) … -7.89 %
2.52 ‰ Mayotte … 401 + 285 = 686 … +71.07 % … ( +155 ) … +119.23 %
0.06 ‰ Bangladesh … 5913 + 4230 = 10143 … +71.54 % … ( +1265 ) … +42.66 %
0.09 ‰ El Salvador … 323 + 232 = 555 … +71.83 % … ( +127 ) … +120.95 %
0.08 ‰ Senegal … 736 + 535 = 1271 … +72.69 % … ( +176 ) … +49.03 %
0.06 ‰ Paraguay … 228 + 168 = 396 … +73.68 % … ( +148 ) … +740.00 %
0.17 ‰ Gabon … 211 + 156 = 367 … +73.93 % … ( +65 ) … +71.43 %
0.09 ‰ Ghana … 1550 + 1169 = 2719 … +75.42 % … ( +661 ) … +130.12 %
0.10 ‰ Eswatini … 65 + 51 = 116 … +78.46 % … ( +10 ) … +24.39 %
0.02 ‰ Sierra Leone … 99 + 79 = 178 … +79.80 % … ( +23 ) … +41.07 %
0.02 ‰ Tajikistan … 0 + 230 = 230 … +100.00 % … ( +230 ) … +100.00 %
0.01 ‰ Nigeria … 1337 + 1465 = 2802 … +109.57 % … ( +793 ) … +118.01 %
1.00 ‰ Maldives … 226 + 315 = 541 … +139.38 % … ( +158 ) … +100.64 %
0.02 ‰ Sudan … 275 + 403 = 678 … +146.55 % … ( +235 ) … +139.88 %
0.01 ‰ Chad … 46 + 71 = 117 … +154.35 % … ( +58 ) … +446.15 %
0.21 ‰ Guinea-Bissau … 73 + 340 = 413 … +465.75 % … ( +317 ) … +1378.26 %
0.11 ‰ Sao Tome and Principe … 4 + 19 = 23 … +475.00 % … ( +19 ) … +100.00 %
0.00 ‰ South Sudan … 6 + 40 = 46 … +666.67 % … ( +38 ) … +1900.00 %
0.00 ‰ Yemen … 1 + 11 = 12 … +1100.00 % … ( +11 ) … +100.00 %

Olika textversioner av Principia Discordia (PD)

PD Carniege Mellon University

PD Ology

PD

PD Loompanics

PD Wikisource

Wayback Machine Fnord

Wayback Machine Max 33 Wat