En paradox brukar bestå av ett eller flera påståenden som var för sig är sanna, men som tillsammans bildar något som låter motsägelsefullt eller fel.
Inom fysiken brukar man tala om veridiska paradoxer, där veridisk är samma ord som i latinska “in vino veritas” som betyder i vinet kommer sanningen fram, d.v.s. de som dricker vin blir fulla och då brukar de tala sanning.
En veridisk paradox är en paradox är alltså korrekt oavsett hur fel vi tycker den låter. Ett exempel på detta är tvillingparadoxen.
Men innan vi förklarar tvillingparadoxen tänkte jag förklara några enklare paradoxer för att man lättare ska förstå tvillingparadoxen. Den första är så enkel att den inte ens betraktas som en paradox.

Ljusklockan

En moraklocka fungerar så att en pendel svänger fram och tillbaka och varje gång pendeln svänger rör sig ett kugghjul en liten bit och klockan “tickar”.
En ljusklocka består av två speglar mitt emot varandra, sen låter man en ljusstråle studsa mellan speglarna och varje gång ljusstrålen träffar en spegel är ett “tick” (nej, ljusklockor finns inte på riktigt).
Nu är det inte så viktigt vilket avståndet är mellan speglarna, men för att ni ska kunna visualisera hur det ser ut står speglarna c:a 30 cm från varandra. Närmare bestämt 29,9792458 cm. Om avståndet ser bekant ut beror det på att de är ljusets hastighet. Mer korrekt: 30 cm är en biljondel av vad ljuset förflyttas på en sekund. Klockan tickar varje biljonte sekund (varje nanosekund på fysikerspråk), det blir en biljon tick i sekunden.

För att ni ska kunna visualisera: tänk er att Adam står längst ner på datorskärmen, nere på jorden. Och Bertil flyger i ett rymdskepp från vänster till höger högst upp på skärmen. Bertil rör sig 0,87 c, så Gamma är 2.
Gamma 2 gör att Adam tycker att Bertils skepp är hoptryckt i färdriktningen (vänster-höger), men inte i några andra riktningar. Adam tycker också att Bertils klocka går hälften så fort.
Bertil tycker tvärt om: allt är som vanligt på skeppet, men Adam ser väldigt platt ut och Adams klocka går hälften så fort.
Det här är precis samma situation som vi beskrivit ett par gånger tidigare, men nu finns en liten skillnad: Adams och Bertils klockor är ljusklockor. Ljusklockorna står dessutom så att ljusstrålen går upp-ner, inte vänster-höger som Bertils skepp. Det betyder att ljusklockorna är inte utsatta för längdkontraktion. Bägge tycker att varandras klockor är 30 cm höga. Hade klockorna varit placerade så ljuset gick vänster-höger hade de tyckt att varandras klockor bara var 15 cm breda.

Paradoxen består i att om Adam tycker att Bertils klocka går hälften så fort betyder det att Adams klocka hinner ticka två gånger när Bertils klocka tickar en gång. Det betyder att ljusstrålen i Adams klocka hinner upp-ner, 60 cm, när ljusstrålen på Bertils klocka bara hinner upp, 30 cm. Men vi vet samtidigt att Adam tycker att bägge klockorna är 30 cm höga och att ljuset rör sig lika snabbt för både Adam och Bertil. Något är fel.
Lösningen är enkel: vi ser hur Adam står längst ner på skärmen och hur Bertils skepp rör sig från vänster till höger på skärmen. Vi tycker också att när ljusstrålen i Bertils klocka rör sig upp-ner rör sig samtidigt skeppet (med Bertil och ljusklocka) från vänster till höger. Vi tycker att ljusstrålen rör sig i zick-zack över skärmen.

Låt oss kalla ljusklockornas höjd för 1 u. Om ljuset i Adams klocka hinner röra sig 1 u (bara upp), hur långt har skeppet hunnit? Jo, hastigheten är 0,87 c, så det har hunnit 0,87 u (vilket är c:a 26,1 cm).
Men nu var det ljuset i Bertils klocka som hade rört sig 1 u uppåt, då hade ljuset i Adams klocka hunnit röra sig 2 u och skeppet 2 * 0,87 u åt höger.
Hur långt har ljuset i Bertils klocka rört sig?
Antingen kan man räkna med Pythagoras sats (och då får man ett mer exakt värde om man räknar med 0,866 c).
Eller så kan man rita upp det på ett A3-papper: vrid pappret, dra ett lodrätt streck som är 30 cm (1 u). Dra sedan två vågräta streck efter varandra på vardera 26,1 cm (0,87 u) från undre ändan av det lodräta strecket. Dra sedan ett diagonalt streck från den övre ändan av det lodräta strecket till bortre ändan av det bortre vågräta strecket. det diagonala strecket är ett “zick” av det zick-zack-mönster som Bertils klocka bildar. Om du mäter diagonalen finner du att den är 60 cm lång, d.v.s. ett “zick” på Bertils klocka motsvarar ett “tick-tack” på Adams klocka.

Så: när Bertil tycker att ljuset i hans klocka rört sig 30 cm och tickat 1 gång, tycker Adam att ljuset i Bertils klocka har rört sig 60 cm under tiden 2 tick på Adams klocka, vilket också är 60 cm, d.v.s. ljuset rör sig i ljusets hastighet både för Bertil och Adam. Paradoxen är löst!

Stegen i ladan.

Vi har en stege som är 4 meter lång. Vi har en lada som är 2 m lång (det är mer en liten bod än en stor lada). Hur får vi plats med stegen i ladan?
Jo, Adam står vid ladan, beredd att stänga dörrarna. Bertil kommer springande med stegen i 0,87 c, det är Gamma 2, så stegen blir hälften så lång, 2 m, och får plats i ladan. När stegen är inne i ladan kan Adam stänga dörrarna.

Vi gör om paradoxen lite.
Vi har en järnväg. På järnvägen har vi en tågdepå, det är som ett tåggarage. Adam står mitt i tågdepån är 20 m lång och man kan köra in tågvagnar som är exakt 20 m långa. Bertil är på ett tåg som består av 2 vagnar, d.v.s. 40 m långt som kör i 0,87 c. Det är Gamma 2 så det 40 m långa tåget blir hälften så långt och får plats i den 20 m långa depån så Adam kan stänga portarna med ett knapptryck mitt i depån.
Håller ni med om att det är samma paradox och det enda jag gjort är att multiplicera alla längder med 10?

Bertil står mitt emellan tågvagnarna (kära barn, stå aldrig mitt emellan två tågvagnar, speciellt inte på ett tåg som rör sig i 0,87 c).
Bertil tycker att allt är normalt på tåget, istället är det Adam och tågdepån som är hälften så långa i färdriktningen. Det betyder att Bertil tycker att tågdepån bara är 10 m lång där det ska få plats ett 40 m långt tåg i.

Kom ihåg detta:
Adam står bredvid en 20 m lång tågdepå och tycker att ett 40 m långt tåg som kör i 0,87 c blir hälften så långt och därför får plats.
Bertil står på ett 40 m långt tåg och ser hur en 20 m lång tågdepå kommer mot honom i 0,87 c och därför blir hälften så lång och därför bara blir 1/4 av tågets längd.
Tänk på att Adams och Bertils längdkontraktion multipliceras med varandra: 2*2 = 4, därför tycker Adam att tåget får plats, medan Bertil tycker att bara 1/4 får plats.
Hade tågets hastighet varit 0,94 c hade Gamma varit 3, som multipliceras med sig själv: 3*3 = 9, d.v.s. Bertil hade tyckt att bara 1/9 av ett tåg med 3 vagnar hade fått plats.

Bertil tänder en lampa mitt emellan vagnarna och tycker att ljuset när fram till början av tåget samtidigt som ljuset når fram till slutet av tåget, för det är 20 till bägge ändar om man står mitt i tåget.
Men vad ser Adam?
Nu ska vi göra något som man INTE får göra inom relativitetsteorin. Tänk på att detta stämmer ur Adams synvinkel, men inte ur Bertils.
Nu byter vi ut de två tågvagnarna mot tre bilar som kör mot Adam och Bertil sitter i den mittersta. Istället för 0,87 c rör sig bilarna i mer normala 87 km/tim.
Plötsligt ser Adam hur en fjärde bil försöker köra om de tre bilarna i 100 km/tim. När den fjärde bilen passerar Bertil kan vi likna det vid att Bertil tänder lampan på tåget och att ljuset rör sig framåt. Hur lång tid tar det tills den fjärde bilen kört om alla bilar? Det tar lite tid, för den fjärde bilen rör sig bara 100 km/tim – 87 km/tim = 13 km/tim snabbare än de tre bilarna.
Plötsligt ser Adam hur en fjärde bil som möter de tre bilarna i 100 km/tim. När den fjärde bilen passerar Bertil kan vi likna det vid att Bertil tänder lampan på tåget och att ljuset rör sig framåt. Hur lång tid tar det tills den fjärde bilen kört förbi alla bilar? Det går jättesnabbt, för den fjärde bilen rör sig 100 km/tim + 87 km/tim = 187 km/tim mot den sista bilen.
För att sammanfatta: Bertil tänder lampa mitt i tåget och tycker ljuset når den främre delen av tåget samtidigt som det når den bakre. Det tycker inte Adam. Han tycker att ljuset når den bakre delen först, för ljuset och den bakre delen rör sig mot varandra. Han tycker att ljuset når den främre delen senare, för nu måste ljuset hinna ikapp tåget som rör sig framåt.

Vad händer om vi vänder på ovanstående?
Adam står mitt i tågdepån och tänder en lampa. Adam tycker att ljuset når de främre och bakre porten samtidigt i depån. Portarna har portlås som drivs av ljussensorer som stänger portarna när man lyser på dem. Om Adam tänder lampan vid precis rätt tillfälle kommer ljuset nå fram och stänga portarna precis när det ur Adams perspektiv 20 m långa tåget får plats i depån.
Men vad ser Bertil?
Han tycker att han är i vila och att det är Adam och depån som rör sig i 0,87 c mot honom och tåget.
Han tycker att när Adam tänder lampan kommer ljuset att nå den bortre porten först för de rör sig mot varandra. Och att ljuset når den närmaste porten senare för här måste ljuset komma ikapp porten som rör sig mot tåget.
Så Bertil tycker att tåget kör 10 meter in i den 10 meter långa depån när den främre porten stängs precis framför tåget, sedan kraschar tåget rakt genom porten och fortsätter ytterligare 30 meter innan den bakre porten stängs precis när sista delen av den bakre tågvagnen kör in i depån.

Som ni ser är ingen av dem överens om när någonting, utom att bägge säger att den främre porten stängs precis när den främre delen av tåget nåt fram till den främre porten. Och att den bakre porten stängs precis när den bakre delen av tåget passerar den bakre porten.
Paradoxen är löst!

Andromedaparadoxen

Denna paradox kallas även för Bells paradox, efter den irländske fysikern John Bell som kom på den på 1960-talet.
Adam sitter på en parkbänk mitt emellan två tidtagarur som startas med ljussensorer. I sin hand har han en lampa som han kan tända. Han tänder lampan, ljuset rör sig mot tidtagaruren, när ljuset från lampan träffar tidtagaruren börjar de ticka. Han tycker att klockorna börjar ticka samtidigt.
Nu kommer Bertil joggandes från vänster genom parken. Precis när Bertil passerar Adam trycker denne på knappen och säger: “se, tidtagaruren började ticka samtidigt”. Bertil svarar: “Nä det bortre tidtagaruret började ticka lite tidigare”.
Det här är exakt samma upplägg som paradoxen ovan, förutom att det är mindre avstånd och mycket lägre hastighet. Bertil kommer att tycka att skillnaden mellan de två tidtagaruren ligger i storleksordningen en femtosekund, det är 0,000000000000001 sekunder, det är 14 nollor efter kommat. Det är så liten skillnad att det knappt är mätbart. Men enligt relativitetsteorin finns skillnaden där.
Det viktiga att komma ihåg är att när Bertil kommer joggandes och ser en klocka på andra sidan Adam kommer han tycka att klockan visar lite mer än vad Adam tycker.

Nu gör vi om det hela lite:
Adam sitter på en parkbänk. En bit till till höger om honom står en klocka och tickar.
Nu kommer Bertil joggandes från vänster. Precis när Bertil passerar Adam säger denne: “Nu är klockan tolv”. Bertil svarar: “Nä, klockan är lite mer än 12”.
Det är exakt samma förklaring som ovan: eftersom Bertil rör sig snabbare mot klockan än Adam tycker han att klockan är lite mer. Vi talar fortfarande i storleken en femtosekund i skillnad.

Nu måste jag avbryta och förklara en sak: när Adam säger: “nu är klockan tolv”, menar han vad klockan är där borta just nu, inte vad han ser klockan visa. Vad han ser är klockan som visar någon femtosekund i tolv, för det är vad klockan var när ljuset lämnade klockan – inte vad klockan är nu (detta är ett tankeexperiment, i verkligheten är det meningslöst att tala om “nu” någon annanstans än där man själv är).

Vad händer om vi flyttar klockan tio gånger längre bort bort? Den enda skillnaden är att när Adam tycker att klockan är tolv tycker Bertil att den är 10 femtosekunder över tolv. Det är fortfarande så liten tidsskillnad att det i praktiken är omätbart. För varje gång vi tiodubblar avståndet kommer Bertil tycka att det gått tio gånger mer tid: 100 meter: 100 femtosekunder, o.s.v.
Men inte ens om vi placerade klockan på andra sidan jorden skulle skillnaden i tidsuppfattning mellan Adam och Bertil gå att mäta.
OK, men om vi tar i så vi nästan spricker: vi flyttar ut klockan i rymden och fortsätter ännu längre bort; vi placerar klockan i Andromedagalaxen 2,5 miljoner ljusår bort! Ha! vad säger ni nu?
Nu händer det lite saker: Adam säger att det bara är måndag i Andromedagalaxen och Bertil säger att det redan hunnit bli fredag. Se vad lite avstånd kan göra.
Nu tar vi ännu mer: klockan står fortfarande i Andromedagalaxen, men nu tittar vi på hur jorden rör sig runt solen: i c:a 30 km/s. Eftersom jorden rör sig runt solen rör den sig fram och tillbaka genom rymden. Det betyder att i sin bana runt solen, så en gång om året rör vi oss mot Andromedagalaxen med 30 km/s och ett halvår senare rör vi oss åt andra hållet, i 30 km/s bort från Andromedagalaxen.
Om vi struntar i parkbänken och joggaren, vad tycker vi skillnaden i “nu” är i Andromedagalaxen om vi jämför ett halvårs mellanrum: när vi rör oss mot jämfört med från? Nu skiljer det plötsligt flera hundra år!

Kom ihåg detta:
Om man jämför vad “nu” är kan det skilja flera dagar om avståndet är tillräckligt långt bort. Och är hastighetsskillnaden mellan de två observatörerna tillräckligt stor kan det skilja århundraden.
Men framför allt: detta “nu” långt bort är i grunden bara ett tankeexperiment, för i samtliga fall kommer vi aldrig få reda på vad som händer “nu” i Andromedagalaxen förrän om 2,5 miljoner år när ljuset från Andromeda kommer hit.
Paradoxen löst!

Tvillingparadoxen
Om ni tyckte de tidigare paradoxerna var jobbiga så var det bara uppvärmning till det som kommer nu.
För det första tar vi bort tvillingarna och ersätter dem med Adam, Bertil och Cesar. Om man vill kan man bestämma att de är trillingar, men det behövs inte. Det räcker med att de har med sig varsin klocka. Jag tror det syns ganska tydligt om Adams klocka visar att det gått 10 år, men Bertils klocka bara visar 5 år.

OK, så både Adam och Bertil börjar på jorden med varsin klocka. Bertil ger sig sedan av i ett rymdskepp nära ljusets hastighet, för att sedan vända tillbaka efter några år ute i rymden. När han kommer tillbaks jämför de sina klockor.
I vilken hastighet färdas Bertil? 0,87 c duger bra, då har vi Gamma 2 som är lätt att räkna med.
Hur långt reser han? Vad sägs till vår närmaste stjärna, Alfa Centauri? Nu blev det lite problem, för det är i själva verket ett system med 3 stjärnor, så jag väljer en av dem, den största: Alfa Centauri A.
OK, hur långt är det till Alfa Centauri A? C:a 4,344 ljusår, men vi avrundar till 4,35 för att det ska bli lättare att räkna.
Och hur lång tid tar det att åka till Alfa Centauri? Vi delar avståndet med hastigheten: 4,35/0,87 = 5. Det tar fem år dit och fem år tillbaka, totalt 10 år ur Adams synvinkel.
Observera att vi, precis som Adam, befinner oss på jorden hela tiden. Det enda Adam och vi är hundra procent säkra på är att Bertil kommer tillbaks efter 10 år.

Vad tycker Adam att Bertils klocka visar? Adam tycker att Bertils klocka går hälften så snabbt. När Adams klocka visar 10 år visar Bertils klocka bara 5 år när de träffas igen – vilket är precis vad tvillingparadoxen säger.

Och vad tycker Bertil? Han tycker att jorden rör sig bort och att Alfa Centauri närmar sig med 0,87 c. Han tycker att allt är normalt på rymdskeppet, men att allt annat blir hälften så långt i färdriktningen. Även avståndet mellan jorden och Alfa Centauri blir hälften så långt: bara 2,175 ljusår, vilket betyder att resan tar 2,5 år dit och 2,5 år tillbaka, totalt 5 är för hela resan, precis som tvillingparadoxen säger. Vi har nästan löst allt! Det är bara en liten sak vi ska kontrollera… vad Bertil tycker att Adams klocka visar. Om Bertil tycker att en väg tar 2,5 år och att Adams klocka går hälften så snabbt som Bertils, tycker han att Adams klocka går 1,25 år per väg och att Adams klocka skulle visa 2,5 år när Bertil kommer tillbaka till jorden efter 5 år.
Men det enda vi kan vara säkra på är att Adams klocka visar 10 år efter att Bertil rest 4,35 ljusår tur och retur i 0,87 c.
Adams klocka visar definitivt inte 2,5 år när Bertil kommer tillbaka, utan 10 är!
Det är nog en bit kvar tills vi löst tvillingparadoxen.

Någonting är fel med våra uträkningar, men vad?
Vad är det som skiljer tvillingparadoxen från alla tidigare paradoxer som vi gått igenom?
Ta en titt på Einsteins första postulat igen: “alla system där observatörer rör sig i konstant hastighet”. Ja, Bertil har rört sig konstant i 0,87 c hela tiden. Vad är problemet?
OK, ta en titt nästan högst upp på sidan, i stycket om fysiska enheter.
Där står det att när vi säger hastighet så menar fysiker velocitet.
Och vad betyder velocitet?
Hastighet… och riktning.
Det stämmer att när Bertil åker från jorden är hastigheten/velociteten 0,87 c. Men när han åker mot jorden förflyttar han sig i motsatt riktning. Velociteten på hemresan är -0,87 c. Ser ni minustecknet?
Vi har brutit mot Einsteins postulat som säger att man måste röra sig i konstant hastighet.
Det som skiljer tvillingparadoxen från tidigare paradoxer är att Bertil börjat med samma hastighet som Adam: 0 m/s, sedan accelererat till 0,87 c, sedan bromsat in, negativ acceleration, vid Alfa Centauri, för att sedan accelerera från Alfa Centauri till 0,87 c, för att slutligen bromsa, negativ acceleration, vid jorden, så han åter får samma hastighet som Adam: 0 m/s.
I tidigare paradoxer har ingen accelererat.

Jag har flera gånger sagt att det är jättejobbigt att räkna med acceleration i relativitetsteorin, men varför?
Vi tar ett vardagligt exempel: avståndet Stockholm-Göteborg är c:a 400 km. Om vi kör i 100 km/tim tar det 4 timmar per väg, 8 timmar tur och retur. Vi har tidigare sagt att en snabb bil accelererar 0 till 100 på 3 sekunder. Om vi accelererar när vi börjar köra, sedan lite bromsning och acceleration när vi vänder, sist omvänd acceleration när vi bromsar in vid Stockholm igen, det betyder 12 sekunders acceleration på en resa som tar 8 timmar. Vad kan lite acceleration ställa till med?
Det beror på att det är lite skillnad mellan 100 km/tim och 0,87 c.
Först: hur snabbt vill vi accelerera rymdskeppet?
Jag skrev tidigare att en acceleration på 9,81 m/s² inte gick att skilja från jordens gravitation: 1 g. Det tycker jag låter bekvämt. För att det ska bli lätt att räkna kan vi säga 10 m/s², som av en händelse är den acceleration som vår bil har när den accelererar från 0 till 100 på 3 sekunder. Så hur många sekunder tar det att accelerera till 0,87 c?
Först, vilken hastighet är 0,87 c? Enkelt 300000 km/s * 0,87 = 261000 km/s. Men vi bör göra om det till m/s för att det ska bli samma enhet som accelerationen: 261 000 000 m/s.
Sen är det bara att dela hastigheten med accelerationen för att se hur många sekunder det tar: 261 000 000 / 10 = 26 100 000 sekunder.
26 100 000 sekunder / 60 = 435 000 minuter.
435 000 minuter / 60 = 7250 timmar, som vi “avrundar” till 7248 timmar.
7248 timmar / 24 = 302 dagar, vilket är c:a 10 månader.
Det är väl inte så farligt: 10 månaders acceleration, sedan resa i 0,87 c i 4 år och 2 månader, sedan bromsa i 10 månader, sedan samma sak hem igen. Det tar lite längre tid för man åker inte i 0,87 c hela tiden, det tar 12 år och 8 månader, vilket inte är så mycket mer än 10 år. Var är problemet?

Varför valde vi accelerationen 10 m/s²? För att det var en bekväm acceleration för Bertil.
Och från vems synvinkel har vi räknat ut att det tar 12 år och 8 månader? Från Adams synvinkel.
Vad tycker Bertil om accelerationen?
Bertil tycker att det är helt OK acceleration i början av resan, men i slutet av accelerationen, runt dag 300, är det inte lika kul.
Då är Gamma 2 och klockorna går hälften så snabbt på rymdskeppet. Det betyder att när Adam tycker att skeppet accelererar 10 meter per en sekund, tycker Bertil att skeppet accelererar med 10 meter per halv sekund, vilket är dubbelt så hög acceleration.
Då Gamma är 2 blir också skeppet hälften så långt i färdriktningen. Säg att skeppet är 10 meter långt. I början tycker Bertil att skeppet accelererar med en skeppslängd per sekund, men mot slutet är skeppet hälften så långt så det accelererar med 2 skeppslängder per sekund, vilket är dubbelt så hög acceleration.
Mot slutet dubblas accelerationen två gånger vilket blir 4g. Det betyder att för en person som väger 75 kg här på jorden känns det som man väger 4 gånger mer: 300 kg.
Vad skulle ni komma ihåg från paradoxen med stegen och ladan (tåget och tågdepån)? Jo att det är vanligt att man får multiplicera Gamma med sig självt för att få den riktiga effekten när man byter från vems synvinkel man ser, så Gamma 2 blir ofta *4. Bertil är väldigt glad att man inte skulle accelerera till 94 c som är Gamma 3, för då hade det känts som om Bertil vägt 75 * 3 * 3 = 675 kg och jag är inte säker på att Bertil hade överlevt den vikten under längre tid.

Men om man vänder på det: man accelererar så det känns som 10 m/s² ur Bertils perspektiv hela accelerationen. Detta kallas proper acceleration och istället för 1 g säger man 1 gee, När man börjar närma sig 0,87 c måste man fortfarande ta *4 när man byter referens, men nu blir det åt andra hållet: När Bertil tycker att skeppet accelererar i 10 m/s² tycker Adam att skeppet accelererar i 10/4 = 2,5 m/s² mot slutet när man närmar sig Gamma 2. Accelerationsperioden blir betydligt längre än 300 dagar, men Bertil är glad så allt är väl frid i fröjd?
Nja, anledningen till att Adam tycker att Bertil accelererar med 2,5 m/s² är för att Gamma är 2. Och hur förändras gamma? Det går från 1 till 2 när hastigheten accelererar från 0 till 0,87 c. Och vad är accelerationen ur Adams synvinkel? Jo den är Bertils 10 m/s² delat med Gamma i kvadrat. Så hur ökar hastigheten ur Adams synvinkel? Hastigheten ökar med 10/Gamma²,där Gamma beror på hastigheten, som i sin tur beror på accelerationen som i sin tur beror på Gamma…
Vi får något som på fint språk kallas för en självrefererande integral. Jag vill inte röra vid något sådant med tång ens.

Så vi har kommit fram till att tvillingparadoxen kräver att vi räknar med acceleration och jag vill inte räkna med acceleration ens om någon riktade en pistol mot mitt huvud. Hur gör vi då? Finns det något sätt att slippa accelerationen?
Ja, om vi blandar in Cesar.

Säg att jorden är en punkt till vänster på skärmen och Alfa Centauri är en punkt till höger på skärmen.
Adam befinner sig på jorden och rör sig inte.
Bertil börjar långt ut till vänster utanför skärmen och accelererar till 0,87 c. Vi bryr oss inte om hur han accelererar, det enda intressanta är att Bertil redan rör sig i 0,87 c när han passerar jorden.
När Bertil passerar jorden gör han en “high five” med Adam och de synkar sina klockor (tips: försök inte göra en high five med någon som rör sig i 0,87 c).
Cesar börjar långt ut till höger utanför skärmen, så han redan har hastigheten 0,87 c när han passerar Alfa Centauri.
Givetvis har vi sett till att Bertil och Cesar möts precis när bägge passerar Alfa Centauri. De gör en high five och synkar sina klockor.
Slutligen gör Cesar och Adam en high five när Cesar passerar jorden och Adam kan avläsa hur lång tid Bertils + Cesars sammanlagda resa tagit och jämföra med sin egen klocka.

Det är bara ett problem:
Enligt Bertil tar en enkelresa 2,5 år och på den tiden ska Adams klocka visa hälften så mycket: 1,25 år. Cesar tycker exakt samma sak: de tycker att deras sammanlagda restid är 5 år och att Adams klocka borde visa att det gått 2,5 år, d.v.s. exakt samma problem som förut.
Någonting är fortfarande fel.
För att lösa det här problemet måste vi bygga om Bertils och Cesars rymdskepp. Efter Bertils rymdskepp fäster vi en lång pinne. Sedan fäster vi en lika lång pinne framför Cesars rymdskepp.
Hur lång pinne? Inte så lång… bara 2,175 ljusår, halva avståndet mellan jorden och Alfa Centauri. Det betyder att om Bertil och Cesar istället bestämde sig för att sakta ner och mötas för att dricka en kopp kaffe tillsammans mitt emellan jorden och Alfa Centauri så skulle bägge pinnarna räcka precis fram till jorden och Adam skulle kunna ta på ändarna.

Nu gör vi om allt igen, men nu räknar vi på vad som händer med pinnarna. Bertil blåser förbi jorden i 0,87 c, men hur lång tid tar det för änden på Bertils pinne att passera jorden?
Adam tycker att Bertil, rymdskepp och pinne blir hälften så långa i färdriktningen. Pinnen är alltså inte längre halva avståndet mellan jorden Alfa Centauri, utan 1/4 av avståndet. Därför tycker Adam att pinnen lämnar jorden efter 1/4 av resan. Vi har redan konstaterat att Adam tycker att en enkelväg tar 5 år och 1/4 av det är 1,25 år. Adam tycker att pinnen lämnar jorden efter 1 år och 3 månader.
För Cesar är det tvärt om: Adam tycker att hela resan tar 10 år, men att Cesars pinne når jorden 1,25 år innan Cesar, efter 8,75 år. Adam tycker att Cesars pinne kommer fram till jorden efter 8 år och 9 månader.

Nu vet vi vad Adam tycker om pinnarna, men vad tycker Bertil och Cesar?
Vad skulle vi komma ihåg från paradoxen med stegen och ladan (tåget och tågdepån)? Jo att när man byter referenspunkt måste man ofta multiplicera Gamma med sig själv, Gamma 2 blir *4.

Bertil tycker att ingenting hänt med honom skeppet, eller pinnen. Med andra ord tycker han att pinnen är 2,175 ljusår lång. Sedan hade vi redan räknat ut vad Bertil tyckte om själv resan, men jag repeterar för säkerhets skull:
Bertil tyckte att avståndet halverades så det är bara 2,175 ljusår mellan jorden och Alfa Centauri och att resan bara tar 2,5 år till Alfa Centauri.
Och vad händer med pinnen? Den är nu lika lång som avståndet mellan jorden och Alfa Centauri, 2,175 ljusår; Adam tyckte att pinnen var 1/4 av avståndet och Bertil tycker att det är hela avståndet, vilket är 4 gånger mer.
Så Bertil tycker att en enkelresa tar 2,5 ljusår. Bertil tycker att pinnen lämnar jorden precis när han passerar Alfa Centauri. Och vad tycker Bertil att Adams klocka visar när staven lämnar jorden? Jo, Bertil tycker att Adams klocka rör sig hälften så snabbt, d.v.s. 1,25 ljusår. Och när tyckte Adam att staven lämnade jorden? Efter 1,25 ljusår. Det börjar stämma!

För Cesar räknar vi tvärt om. Tänk på att han inte rest med Bertil, bara möter honom vid Alfa Centauri. Det enda vi vet med säkerhet är att Cesar åker förbi jorden när Adams klocka visar 10 år. Vi vet att resan Alfa Centauri-jorden tar 2,5 år, alltså måste han passera Alfa Centauri 2,5 år tidigare, d.v.s. efter 7,5 år. Vi vet att Cesar, precis som Bertil, tycker att staven är lika lång som avståndet mellan Alfa Centauri och jorden, d.v.s. staven kommer fram till jorden när Cesar kommer fram till Alfa Centauri. Och vad tycker Cesar att Adams klocka är när staven kommer fram till jorden? Jo, Cesar tycker att Adams klocka rör sig hälften så snabbt, så om Adams klocka ska visa 10 år när Cesar kommer fram till jorden om 2,5 år, måste den visa 8,75 år när staven kommer fram till jorden. Och vad tyckte Adam att klockan var när staven kom fram? Jo, 8,75 år. Vi har nästan löst paradoxen!

Vi har bara ett litet problem kvar: Bertil möter Cesar när bägge passerar Alfa Centauri, men när de möts tycker Bertil att Adams klocka visar 1,25 år, men Cesar tycker att den visar 8,75 år. Det är en skillnad på 7,5 år. Något är fel.
Vad var det vi skulle komma ihåg från Andromedaparadoxen?
Jo att personer som möts kan ha helt olika uppfattning om vad “nu” är på en annan plats. Om avståndet är 2,5 miljoner ljusår kunde det skilja dagar och det var den som rörde sig mot målet som tyckte att det gått mer tid. Och om hastigheten var hög kunde det skilja hundratals år för vad de tyckte om “nu” då avståndet var 2,5 miljoner ljusår bort.
Så om två personer möts, hur mycket tror ni att deras “nu” skiljer sig åt för en plats 4,35 ljusår bort. Och om de rör sig riktigt snabbt t.ex. 0,98 c mot varandra hur mycket tror ni deras “nu” skiljer sig? Vad sägs om 7,5 år?

Nu har vi i praktiken löst paradoxen så jag tänkte bara avsluta med att gå tillbaka till när vi bara hade Bertil och han accelererade. Den största tidsskillnaden mellan Adam och Bertil uppstår när Bertil byter riktning borta vid Alfa Centauri. Det betyder att på vägen till Alfa Centauri tycker Bertil att Adam har nästan samma tid, d.v.s. att bara något år har gått. Sedan på vägen tillbaks till jorden tycker att Bertil återigen att Adams tid är rätt, d.v.s. att det gått runt 9 år.
Det är när Bertil Bromsar in från 0,87 c vid Alfa Centauri, för att sedan accelerera tillbaks mot jorden igen i 0,87 c, en manöver som tar totalt c:a 800 dagar, som Adam åldras. D.v.s. under 800-dagars accelerationen vid Alfa Centauri tycker Bertil att Adam åldras 7,5 år.

Och det är den riktiga lösningen på paradoxen.
Tack och hej.