Utkast
Jag ska göra ett försök att förklara den allmänna relativitetsteorin, som är betydligt mer avancerad än den speciella.
Jag skulle kunna tala om differentialgeometri, topologiska rum, riemannska mångfalder, tensorfält, Einsteins icke-linjära fältekvationer, rumtidens krökning, geodeter och den kosmologiska konstanten.
Och du skulle inte förstå ett ord av vad jag sa – mest beroende på att jag själv inte förstår någonting.
Därför är det bättre att förklara en kraftigt förenklad version med massor av liknelser – men ha alltid i bakhuvudet att förenklingar och liknelser är just vad de låter som och inte “the real thing”.
Men först: jag förutsätter att du har en viss förståelse av den speciella relativitetsteorin. Glöm tanken att ens få en rudimentär förståelse av den allmänna, om du inte klarar den speciella relativitetsteorin.
Låt oss börja från början, med det tankeexperiment som fick Einstein på rätt spår mot den allmänna relativitetsteorins lösning.
Tänk dig en skyskrapa. Tänk dig en fönsterputsare högt upp utanför skyskrapan. En fönsterputsare som förlorar fotfästet och faller mot marken: hur upplever han världen under fallet?
Einsten har själv beskrivit detta makabra tankeexperiment som det lyckligaste ögonblicket i hans liv. En riktig Heureka¹-upplevelse!
¹ Den gamle greken Arkimedes ska ha utropat “heureka!” (jag har funnit det) för c:a 2300 år sedan, när han kom på hur man kan mäta volymen på ett oregelbundet föremål genom att sänka ner det i vatten och se hur mycket vattenytan stiger – vilket INTE är Arkimedes princip.
Vad var det för snilleblixt som Einstein fick?
Om man är i ett rum utan fönster kan man inte avgöra om rummet står still på jorden, eller om rummet befinner sig på ett rymdskepp som accelererar i 9,81 m/s², vilket är precis lika mycket som gravitationen här på jorden.
Eller uttryckt på ett annat sätt:
Om man befinner sig i ett rum utan fönster och plötsligt blir tyngdlös, kan man inte avgöra om rummet är en hiss som fått kablarna avklippta och faller mot marken, eller om rummet är på rymdskeppet som plötsligt stängt av sina motorer så man slutar accelerera och börjar röra sig i konstant hastighet.
Det enda Einstein gjorde var att expandera Galileos invariansprincip och sitt eget första postulat till den speciella relativitetsteorin med faktumet att det inte finns något sätt att skilja mellan gravitation och acceleration.
Kort sagt: det är ingen skillnad på en person som faller från en skyskrapa jämfört med fritt fall på den internationella rymdstationen IIS.
Detta var en fullständigt häpnadsväckande slutsats. Speciellt om man betänker att den gjordes bara ett par år efter bröderna Wright gjorde sin första flygtur och nästan 100 år innan den internationella rymdstationen ens byggdes.
Även om det här är avancerad fysik, sammanfattade fysikern John Wheeler det väldigt enkelt: rumtiden talar om för materian hur den skall förflytta sig, materian talar om för rumtiden hur den skall kröka sig.
OK, vi har en vag uppfattning om vad rumtiden är för något, men vad innebär det att rumtiden kröker sig?
Newtons första rörelselag säger: En kropp förblir i vila eller i likformig rörelse så länge vektorsumman av alla yttre krafter som verkar på kroppen är noll, eller specialfallet då inga krafter alls verkar på kroppen.
Kort sagt: skjuter man iväg ett rymdskepp ut i rymden och stänger av dess motoer, kommer det fortsätta rakt fram i evighet, eller till Universum slutar existera.
Ta en toarulle och lägg den på sidan på ett bord. Toarullen kan beskrivas som en cirkel och bordet kan beskrivas som tangenten till cirkeln. En tangent är en rak linje som precis rör en cirkel, så tangenten är vinkelrät mot cirkelns radie (en radie som i det här fallet går från toarullens mitt rakt ner till bordet).
Du sitter på en karusell. Det kan liknas vid att du är en punkt på sidan av en cirkel som roterar. Din kropp vill röra sig rakt fram i tangentens riktning enligt Newtons första rörelselag, men det kan den inte. Den utsätts för en kraft vinkelrätt mot tangenten, en kraft som hela tiden pekar mot cirkelns mitt (kraften har samma riktning som cirkelns radie).
Detta förklarar både hur en karusell fungerar, hur jorden rör sig runt solen och hur månen rör sig runt jorden.
Säg att du kastar iväg ett föremål. Föremålets bana kommer att bilda en parabel (i praktiken en upp-och-nedvänd x²-kurva). Rita jorden som en stor cirkel på ett papper och du själv är en liten punkt på cirkelns ovansida. Rita nu ut olika banor från föremål som du kastar med olika kraft, så de får olika utgångshastighet och kommer olika lång innan de faller ner på jorden igen.
Vad händer om du kastar tillräckligt hårt? Jo, när föremålet faller så “missar” det jorden och fortsätter “falla” i en omloppsbana runt jorden där det ständigt accelererar mot jordens mitt, men då accelerationen är i en rät vinkel till färdriktningen (tangenten) kommer hastigheten aldrig öka, utan föremåket kommer att befinna sig i en stationär cirkulär bana runt jorden.
Newton var ett geni! Men enligt Einstein hade Newton fel.
H.P. Lovecraft skrev ofta om icke-euklidiska geometrier. Han hade antagligen hört att den moderna fysiken använde icke-euklidisk geometri, men han hade ingen aning om vad det var och tyckte at det lät kusligt, obegripligt, och därför utmärkt att ha med i sina berättelser.
Icke-euklidisk geometri är inte alls obegriplig, men innan vi förklarar det är det bäst att börja med att förklara vad euklidisk geometri är för något.
Euklides var en gammal grek som levde för 2300 år sedan. Han var matematiker och skrev ett verk om 13 böcker, kallat Elementa, där han beskrev all matematik som man kände till på den tiden. Verket var så viktigt och välskrivet att det användes som lärobok ända in på 1900-talet. Det viktigaste är Euklides 5 postulat som tar upp självklara saker inom geometri: som att man kan dra en rak linje mellan två punkter.
Det är Euklides femte postulatet som ställer till problem. det är inte alls lika enkelt och självklart som de fyra första och matematiker har i över 2000 år försökt förenkla det, eller rationalisera bort det.
Euklides femte postulat:
Dra två raka linjer. Dra en tredje linje som korsar de två första. om vinklarna mellan den tredje linjen och de två första är mindre än räta vinklar (90 grader), så kommer de två första linjerna förr eller senare att korsa varandra. Detta brukar kallas parallellpostulatet och låter väldigt komplicerat. Låt oss formulera om det så det blir enklare:
Dra två linjer. Dra en tredje linje som korsar de två första. Om den tredje linjen korsar de två första i räta vinklar, är de två första linjerna parallella och kommer aldrig korsa varandra, samt avståndet mellan dem kommer altid vara konstant.
Eller ännu enklare: två linjer är parallella om avståndet mellan dem är konstant och aldrig ändras.
Det femte postulatet är grunden till euklidisk geometri: om man har ett oändligt stort skrivbord kan man dra två oändligt långa parallella linjer och avståndet mellan dem kommer aldrig att ändras.
Det låter självklart, eller hur?
Hur skulle man ens kunna dra två parellella linjer så att avståndet ändras?
Det är just det som är icke-euklidisk geometri och faktum är att vi funnit två olika lösningar.
Den första lösningen är så enkel att man undrar varför ingen tänkte på det tidigare: sfärisk geometri.
Ta en vanlig jordglob, med latituder och longituder utritade.
Latituder är de vågräta linjerna som går runt jorden parallellt med ekvatorn, de är inte problemet.
Problemet är longituderna: de lodräta linjerna som korsar ekvatorn. Eftersom latituder korsar ekvatorn i räta vinklar, är två latituder parallella med varandra enligt Euklides femte postulat.
Men vad händer om man följer två parallella longituder uppåt (eller nedåt)? jo, de möts vid nordpolen (eller sydpolen). De korsar varandra, vilket de inte kan göra enligt Euklides.
Kort sagt, vår egen planet, jorden, har en yta som är icke-euklidisk.
Den andra lösningen är lite mer komplicerad att förstå: hyperbolisk geometri.
Om sfärisk geometri kan beskrivas som att vi har ett maximalt avstånd mellan två parallella linjer vid ekvatorn, sedan minskar avståndet mellan linjerna, tills de korsas vid polerna – så är hyperbolisk geometri motsatsen: vi har ett minimalt avstånd mellan två parallella linjer, som sedan ökar i bägge riktningar.
Ta en cirkel: böj upp två motsatta sidor, som ett tacoskal, böj sedan ner de två andra sidorna, som ett pringelschips, eller hästsadel. Du kommer att finna att två parallella linjer alltid rör sig bort från varandra på en sån yta.
Konstnären M.C. Echer tyckte om att rita hyperboliska ytor:
https://web.colby.edu/thegeometricviewpoint/2016/12/21/tessellations-of-the-hyperbolic-plane-and-m-c-escher/
Och det går även att virka hyperboliska grytlappar:
https://rovingcrafters.com/2015/09/27/making-hyperbolic-crochet/
Ett annat sätt att skilja mellan plana (euklidiska) ytor och icke-euklidiska sfäriska och hyperboliska ytor är att se på vinkelsumman för en triangel.
I skolan får man lära sig att vinkelsumman för en triangel alltid är 180 grader, en fyrkant 360 grader, en femhörning 540 grader, o.s.v. Men detta gäller bara för euklidisk geometri.
Ta fram jordgloben igen, sätt en penna på globen där en latitud korsar ekvatorn i en 90 graders rät vinkel. Dra ett streck längs latituden mellan ekvatorn och nordpolen, gör sedan en 90 graders rät vinkel uppe vid nordpolen och dra ett streck längs den nya latituden, ner tills latituden korsar ekvatorn i en 90 graders rät vinkel. Dra en tredje linje längs ekvatorn mellan de två latituderna som korsar ekvatorn.
Vad är det sm du ritat? Jo, tre raka linjer som korsar varandra.
Och vad kallar man det? En triangel.
Och vad är vinklarna i varje hörn på triangeln? De är 90 graders räta vinklar.
Och vad blir vinkelsumman på triangeln på jordgloben? 90 + 90 + 90 = 270 grader – det är mer än 180 grader som Euklides säger att alla trianglar ska ha.
För att sammanfatta: vinkelksumman för en triangel är alltid 180 grader på en plan euklidisk yta, är alltid mer än 180 grader på en sfärisk icke-euklidisk yta, är alltid mindre än 180 grader på en hyperbolisk icke-euklidisk yta.
Tillbaks till den allmänna relativitetsteorin med en liknelse.
Säg att vi har en stor elastisk yta, t.ex. en studsmatta. Detta representerar den plana rumtiden.
Säg att vi lägger något tungt, t.ex. ett bowlingklot, mitt på studsmattan. Detta representerar solen i vårt solsystem.
Observera att bowlingklotet pressar ner studsmattan lite, det har blivit en “grop” i studsmattan där bowlingklotet ligger. Den plana ytan som studsmattan var från början har krökts och oavsett på vilken sida av studsmattan du står lutar nu studsmattan lite nedåt mot bowlingkoltet. Detta representerar rumtidens krökning runt solen. Den platta euklidiska rumtiden har blivit en krökt sfärisk icke-euklidisk yta.
Säg att vi tar något litet runt, t.ex. en golfboll, eller pingisboll. Detta representerar jorden.
Om vi nu sätter fart på golfbollen längs sidan av studsmattan, kommer den först gå rakt fram, men sedan “falla” in mot bowlingklotet i en cirkulär bana. Detta representerar jordens bana runt solen.
Observera skillnaden mellan Newtons och Einsteins synsätt.
Enligt Newton vill jorden gå i en rak linje (tangent), men jordens bana böjs av solens gravitation och börjar accelerera mot solen i en omloppsbana.
Enligt Einstein så går jorden i en rak linje, men själva rumtidens krökning gör att den raka linjen böjs av runt solen i en omloppsbana. Inom relativitetsteorin kallas dessa “raka” linjer som kan böjas för tidslinjer eller geodeter.
Säg att vi faller från en skyskrapa.
Enligt Newton accelererar vi mot jordens yta.
Enligt Einstein är det jordens yta som accelererar mot oss.
Hur kan det vara så?
Einstein säger att man inte kan skilja på acceleration och gravitation. Och hur upplever du acceleration?
Säg att du sitter i en bil som accelererar från 0 till 100 på 3 sekunder, vad upplever du?
Att bilstolen, som du sitter i, accelererar framåt, vilket resulterar i att du pressas bakåt.
Bilstolen rör sig snabbare än dig och tvingar dig framåt och du upplever det som att du pressas bakåt.
Acceleration är en kraft. I vårt exempel motsvarars kraften av bilstolen. Kraften från bilstolen tvingar dig att öka hastighet, du accelererar.
Det var ett komplicerat sätt att säga något självklart. Det viktiga är att acceleration framåt upplevs som att du pressas bakåt.
Nu kommer bilen till en bergvägg som går rakt. Det här är dock en speciell bil som kan åka rakt upp på väggar så det är inte ett problem. Du får plötsligt en upplevelse som är häftigare än en berg-o-dalbana.
Plötsligt stannar bilen halvvägs upp längs bergväggen. Vad upplever du?
Du upplever hur du i princip ligger i bilstolen och tittar rakt upp mot himlen. Du upplever också att du har väldigt svårt att ta dig upp från bilstolen, även om du skulle lossa bilbältet så hålls du kvar i stolen av gravitationen.
Du upplever det som om du pressas bakåt i bilstolen, precis som när vi accelererade. Det är inte så konstigt då Einstein säger att vi inte kan skilja på acceleration och gravitation.
Det som däremot är konstigt är slutsatsen vi drar:
På vägen trycktes vi bakåt för att bilstolen accelererade framåt.
På bergsväggen trycks vi också bakåt av gravitationen, men det är fortfarande som om bilstolen accelererade framåt, d.v.s. uppåt.
Även om vi tycker att vi accelererar nedåt när vi faller så är det rent matematiskt så att det är marken som accelererar uppåt mot oss. Det är nämligen enda sättet som acceleration och gravitation kan upplevas på samma sätt (vilket de gör).
Stora massor kröker rumtiden, rumtiden går från att vara euklidiskt plan till icke-euklidiskt sfärisk, som en studsmatta där det ligger ett bowlingklot.
Men vår jordglob, där vi ritade trianglar, är också icke-eukluidiskt sfärisk.
Nu placerar vi två myror vid ekvatorn på jordgloben, de går sedan längs varsin latitud upp mot nordpolen där de möts. Latituderna kan liknas med myrornas tidslinjer, deras geodeteter. Detta motsvarar att jorden förvandlats till ett svart hål och att du och jag faller mot jordens mitt.
Men nu är jorden inte ett svart hål, utan vi står stadigt på jorden yta utan att falla. Detta motsvarar as av att vi placererar en liten pinne mellan myrorna. De går på sina latituder/tidslinjer, som närmar sig varandra ju närmare de kommer nordpolen på jordgloben. Men sedan gör pinnen mellan dem att de inte kan röra sig närmare varandra. Avståndet mellan myrorna minskar inte längre, utan förblir konstant. Hur upplever myrorna detta?
Jo, d tycker att de går spikrakt fram längs sina tidslinjer, sedan kommer pinnen och pressar dem åt sidan. Det är som pinnen “accelererar” mot dem och trycker dem utåt. Eftersom de vill gå längs latituderna så känns det som om de pressas mot pinnen.
Den vänstra myran tycker att pinnen accelererar åt vänster, den högra myran tycker att pinnen accelererar åt höger. Men pinnens längd ökar inte, den förblir konstant. På samma sätt upplever vi att jorden accelererar upp mot oss. Det betyder inte att jorden blir större, bara att våra tidslinjer pekar spikrakt mot jordens centrum och jordytan hindrar oss att gå dit våra tidslinjer pekar.
Men gravitationen inom allmänna relativitetsteorin orsakar även effekter vi känner igen från den speciella relativitetsteorin: längdkontraktion och tidsdilatition. Den speciella relativitetsteorin är ju ett specialfall av den allmänna, så det skulle vara konstigt om den allmänna inte kunde förklara tidsdilatition.
Vi vet sedan Newtons dagar att gravitationen minskar med avståndet i kvadrat.
Vi vet också att enligt Einstein förklaras gravitation av att en massa kröker rumtiden. Ju närmare man kommer en stor massa, desto mer kröks rumtiden, alltså upplever vi mer gravitation ju närmare vi kommer massan.
Det betyder också att våra fötter där nere upplever lite mer gravitation än våra huvuden här uppe. Det må vara så liten skillnad i gravitation att den knappt är mätbar mellan fötterna och huvudet, men skillnaden finns där.
Det är även så att högre gravitation ger mer tidsdilatition (har högre Gamma). Det betyder också att tiden går lite långsammare nere vid våra fötter än uppe vid huvudet, men det är knappt mätbart.
Dock är det denna lilla skillnad som orsakar att tidslinjer böjs av och att planeter går i omloppsbana runt solen.
Säg att solen motsvaras av ett högt torn.
Runt tornet finns massor med runda racerbanor, det motsvarar planetbanorna.
På varje racerbana finns en racerbil, det motsvarar planeterna.
Nu är racerbilarna lite felbalanserade så hjulen på insidan mot tornet roterar lite långsammare än hjulen på utsidan.
Vet du vad som händer om man har något fordon där alla hjulen inte snurrar lika snabbt? Har du någon gång kört kundvagn i en butik, där ett av hjulen inte snurrar? Hela vagnen drar åt det hjulet!
Samma sak med racerbilarna: går innerhjulen lite långsammare kommer bilen “dra” innåt trots att racerföraren styr rakt fram. Resultatet blir att racerbilen går i en cirkel runt tornet.
Vad Einstein säger är att tiden går lite långsammare för den sida på jorden som vätter mot solen, än sidan som vätter bort mot solen, det räcker för att hela jordens tidslinje ska “dra” runt solen.
Faktumet att om man släpper en liten ärta så faller den mot jorden, för att tidsdilatitionen gör att tiden går lite långsammare på den sidan av ärtan som vätter mot jorden än den som vätter från.
Gravitation är en direkt effekt av tidsdilatition, som i sin tur är en direkt effekt av det krökta rumtiden kring en massa, som böjer andra massors tidslinjer.