För några dagar sedan bestämde jag mig för att förstå tvillingparadoxen, som är ett fenomen som dyker upp när man räknar på Einsteins speciella relativitetsteori. Men relativitetsteorin ses som ologisk, ointuitiv och jättesvår att förstå. Det som tog tid var inte för mig att förstå, utan att kunna förklara på ett sätt så att andra förstår. Har jag lyckats? Det får ni avgöra.

Målet har varit att skriva en artikel, inte en bok. När jag började skriva svällde texten över alla bräddar. Jag var tvungen att kapa allt som inte hade med tvillingparadoxen att göra för att få ner längden på den här artikeln.

Tvillingparadoxen

Vi har två tvillingar, varav den ena stannar kvar på jorden och den andra ger sig av i ett rymdskepp som rör sig nära ljusets hastighet. När den andra tvillingen kommer tillbaks till jorden visar det sig att tvillingen på jorden blivit äldre än tvillingen i rymdskeppet. Det har gått mer tid på jorden än ombord på skeppet. Deras klockor visar olika tid.

När man börjar räkna med den speciella relativitetsteorin inser man snabbt att det är helt normalt att tiden går olika snabbt på olika platser. Det är inte paradoxalt att tvillingarna är olika gamla. Paradoxen ligger istället i frågan: varför är det tvillingen på jorden som är äldre än tvillingen i rymdskeppet och inte tvärt om?

Adam, Bertil och Cesar

Säg hej till Adam Bertil och Cesar. De är de tre observatörer som kommer att hjälpa oss att förstå relativitetsteorin genom flera exempel i texten. Jag har försökt att vara konsekvent så det är alltid Adam som står still, medan de två andra rör sig i olika farkoster och olika hastigheter.

Matematik

Många tror att något så obegripligt som relativitetsteorin måste innehålla avancerad matematik. Det är inte helt sant. Det stämmer att det krävs universitetsstudier för att man ens ska kunna börja räkna på den allmänna relativitetsteorin. Det stämmer också att det krävs avancerad matematik om man ska räkna med proper acceleration i den speciella relativitetsteorin. Men faktum är att den speciella relativitetsteorin, utan acceleration eller gravitation, bygger på Pythagoras sats som är högstadiematte. Jag har försökt ha med så lite matte som möjligt. Den avancerade matte som är med är bonusinformation som man kan hoppa över.

Fysiska enheter

Sträckor, längder och avstånd mäts i meter (eller annan längdenhet). Tid mäts i sekunder (eller annan tidsenhet). Hastighet beskriver hur lång sträcka man förflyttar sig på en viss tidsenhet. Ex:
Om Bertil kör i 100 km/tim betyder det att efter en timme har han hunnit 100 km.
När fysiker talar om hastighet brukar de använda bokstaven v. Det beror på att de inte räknar med hastighet, utan velocitet (engelska: velocity). Orddelen “velo” finns även i ord som velociped och velodrom. Skillnaden är att velocitet är hastighet med riktning, ex:
Bertil kör bil, v = 100 km/tim. Han möter Cesar som kör lika snabbt i andra riktningen, v = -100 km/tim.
Ser ni att det är ett minustecken framför Cesars hastighet? Vi kan avgöra i vilken riktning Cesar kör: mot Bertil.
Om hastighet är hur långt man hinner på en tidsenhet, t.ex. m/s, så är acceleration hur mycket hastigheten ökar per tidsenhet, t.ex. (m/s)/s. Istället för för att säga meter per sekund per sekund, (m/s)/s, säger man meter per sekundkvadrat, m/s².
För många är acceleration detsamma som att sätta sig i en bil, trycka gasen i botten och accelerera från 0 till 100 så snabbt som möjligt. Om Bertil sätter sig i en bil som står still (0 m/s), trycker gasen i botten och accelererar med 10 m/s², betyder det att hastigheten ökar med 10 m/s per sekund, d.v.s. 0 s = 0 m/s, 1 s = 10 m/s, 2 s = 20 m/s, 3 s = 30 m/s, o.s.v. Om någon undrar vad 30 m/s är i km/tim så multiplicerar man med 3,6: 30 m/s * 3,6 = 108 km/tim, d.v.s. Bertil har en bil som kan accelerera från 0 till 100 på lite under 3 sekunder.
Precis som hastighet kan vara positiv och negativ, kan acceleration vara positiv och negativ. Positiv acceleration är att trycka på gasen så att hastigheten ökar, medan negativ acceleration är att trycka på bromsen så att hastigheten minskar.

Ljusets hastighet

Om man menar ljusets hastighet genom ett medium t.ex. vatten, så säger man det: “ljusets hastighet genom vatten”. Om man bara säger “ljusets hastighet” menar man alltid “i vakuum”, d.v.s. ute i rymden.
När man säger att ingenting kan röra sig snabbare än ljuset, menar man ljuset i vakuum. Ljusets hastighet genom luft, vatten, glas, o.s.v. är lägre än ljusets hastighet i vakuum; följaktligen finns det saker som kan röra sig snabbare än t.ex. ljuset i vatten.
Kom ihåg: om man bara säger ljusets hastighet menar man i vakuum, ute i rymden.

Ljusets hastighet är exakt 299 792 458 m/s. Ljusets hastighet är konstant och betecknas med bokstaven c. Man brukar avrunda och säga att ljusets hastighet är 300000 km/s, men tänk då att man ändå menar det exakta värdet: 299792,458 km/s.
Hur snabbt är ljuset? Jordens omkrets är 40000 km, om vi delar ljusets hastighet med jordens omkrets får vi: 300000/40000 = 7,5. Det betyder att om vi kunde skicka en ljusstråle runt jorden skulle den hinna 7,5 varv runt jorden på en sekund.
När man talar om höga hastigheter är det lättare att ange dem som en del av c än att skriva ut massor med nollor. Ex: halva ljushastigheten är 150000 km/s, men det är enklare att bara skriva 0,5 c.

Tänk även på att ett ljusår inte är en tidsenhet, utan en sträcka: så långt ljuset hinner på ett år. En annan vanlig enhet är en ljussekund, så långt ljuset hinner på en sekund, 299 792 458 m.

Innan Einstein

Relativitetsteorin dök inte upp ur tomma intet, utan bygger på och förklarar saker man redan upptäckt under 1800-talet, men som man inte förstod och tyckte var jättekonstiga.
T.ex. hade fysiker¹ på 1800-talet redan mätt och räknat ut att ljusets hastighet var 300000 km/s (till en noggrannhet av c:a +/- 1 km/s). Man hade inte bara lyckats mäta ljusets hastighet, utan även konstaterat att det var konstant. Vi kommer återkomma till att ljuset är konstant och varför det är så konstigt.
För att försöka förklara ljushastighetens konstans hade Hendrik Lorentz och andra fysiker² konstruerat ekvationen för längdkontraktion och tidsdilatation, det vi idag kallar för Lorentztransformation. Förenklat kan man säga att längdkontraktion förklarar hur föremål blir kortare och tidsdilatation hur tiden går långsammare för föremål som rör sig i hastigheter nära ljusets. Vi kommer återkomma till exakt hur Lorentztransformation, längdkontraktion och tidsdilatation fungerar. Det viktiga är att man redan kände till dessa innan Einsteins relativitetsteori.
Även om man hunnit långt och redan hade ekvationerna, förstod man inte riktigt varför. Det är här Albert Einstein kom in: han knöt ihop säcken och förklarade hur allt hängde ihop, vilket ingen annan lyckats göra tidigare.

¹James Bradley, Hippolyte Fizeau, Leon Foucault, Albert Michelson och Edward Morley bestämde ljusets hastighet och konstans genom fysiska experiment. James Maxwell kom fram till ljusets hastighet och konstans på teoretisk väg, d.v.s. genom räkna fram det med ekvationer.
²Hendrik Lorentz tillsammans med George FitzGerald, Woldemar Voigt, Joseph Larmor och Henri Poincaré utvecklade längdkontraktion och tidsdilation, samt Oliver Heaviside som kom fram till samma sak efter att ha skrivit om Maxwells 20 ekvationer till de 4 vi använder idag.

Annus Mirabilis

Året var 1905 när en 26-årig lägre tjänsteman vid Schweiz patentverk släppte 4 akademiska papper som skulle vända upp och ner på världen. Den unge tjänstemannen var Albert Einstein och detta var hans annus mirabilis, hans mirakelår.
Det första pappret förklarade brownsk rörelse, d.v.s. varför små partiklar, t.ex. pollen, rör sig i ett fluidum, t.ex. vatten. Något som är användbart av dagens kemister.
Det andra pappret gav honom ett Nobelpris och nej, han fick aldrig Nobelpris för relativitetsteorin. det förklarade den fotoelektriska effekten, löste ett problem som kallades den ultravioletta katastrofen och lade grunden för dagens kvantmekanik.
Det tredje pappret innehöll världens mest mest berömda ekvation: E = mc², och nej, det är inte heller relativitetsteorin, utan ett tillägg till relativitetsteorin och som bl.a. är grunden för dagens kärnkraftverk.
Det fjärde pappret, slutligen var relativitetsteorin.

Redan när han publicerade relativitetsteorin 1905 visste Einstein att den inte var komplett, för den kunde inte räkna med gravitation. Därför började han genast med arbetet på en ny relativitetsteori. Under flera år slet han och försökte konstruera något som var lika matematiskt enkelt som den första teorin, men det gick inte. Till slut gav han upp och använde matematiken som hans gamla matematikprofessor Hermann Minkowski utvecklat: Minkowskirymden. Einstein slet bokstavligen dag och natt i 10 års tid för att bli färdig med den nya teorin och faktum är att hade han bara dröjt en månad till hade matematikern David Hilbert hunnit publicera samma teori före honom.
Nu hade vi två relativitetsteorier och för att skilja dem åt kallar vi den från 1905 för den speciella relativitetsteorin och den från 1915 för den allmänna relativitetsteorin. Man kan säga att att den speciella är ett specialfall av den allmänna. Den stora skillnaden är att den allmänna kan räkna med gravitation, vilket den speciella relativitetsteorin inte kan göra.
Dock är matematiken mycket mer avancerad i den allmänna, så vi lämnar den och inriktar oss på den speciella relativitetsteorin.

Speciella relativitetsteorin

Einstein behövde bara två postulat i den speciella relativitetsteorin:
1. Fysikens lagar är desamma i alla inertialsystem; system där observatörer rör sig med konstant hastighet.
2. Ljusets hastighet i vakuum är konstant lika med c för alla observatörer i likformig relativ rörelse.

Relativitet

Vad betyder Einsteins första postulat? Låt oss gå tillbaka 400 år, till Galileo Galilei. Det var han som släppte saker från det lutande tornet i Pisa och kom fram till att olika tunga saker faller lika snabbt. Det var han som byggde världens första stjärnkikare och var den förste att se Jupiters månar. År 1632 gav han ut boken “Dialog om de två världssystemen” som sa att det är jorden som roterar runt solen och inte tvärtom. För detta belönade den katolska kyrkan honom med husarrest för resten av hans liv. Samma bok innehöll även invariansprincipen:
Om man befinner sig under däck på ett segelfartyg, när det är lugnt väder så det varken gungar eller lutar, finns det inget sätt att avgöra om fartyget seglar ute till havs, eller ligger förtöjt i hamn.

Vi tar ett modernare exempel: säg att du åker tåg. Ett supermodernt maglevtåg som inte åker på räls, utan svävar i luften ovanför rälsen. Ett tåg som varken skakar eller låter, det enda man hör är luftkonditioneringen, oavsett om det står still eller rör på sig. Du sätter dig på tåget, men är trött så du drar för gardinerna och sluter ögonen… Du vaknar med ett ryck och vet inte var du är: är tåget kvar på perrongen? Rör sig tåget i konstant hastighet utan att svänga? Eller är det redan framme vid destinationen? Det kan du inte avgöra.
Galileos invariansprincip är så viktig att Einstein funderade på att kalla relativitetsteorin för invariansteorin istället. Men Einstein gick ett steg längre: han sa att fysikens lagar är desamma oavsett i vilken hastighet man rör sig i och det finns inget fysikaliskt experiment som man kan göra för att skilja olika hastigheter åt.

Vi tar ett exempel till så ni förstår hur viktigt det är:
Du befinner dig ombord på ett rymdskepp långt ut i rymden. Skeppets motorer är avstängda så det finns inga krafter som verkar på dig. Du är i vila och svävar tyngdlöst runt i skeppet.
Plötsligt startar skeppets motorer och skeppet börjar accelerera. Du pressas mot ett av skeppets väggar som nu blir dess “golv” som du nu kan gå på.
Lika plötsligt stängs skeppets motorer av igen, återigen svävar du tyngdlöst runt på skeppet, återigen är du i vila.
Även om du vet att skeppet accelererade och dess hastighet därför måste ha ändrats, finns det inget sätt att skilja på det tillstånd av “vila” du befann dig i innan jämfört med “vila” efter accelerationen. Du kan inte avgöra om skeppet stod still från början och nu har accelererat till en viss hastighet, eller om skeppet hade en hastighet och utförde en “negativ” acceleration, d.v.s. bromsade, och därför står still nu.

Har ni förstått? Vi tar ett exempel till:
Säg att du är ombord på ett rymdskepp som rör sig i halva ljushastigheten, 150000 km/s, 0,5 c, genom vår galax… STOPP!!!
Accelererar skeppet? Nej, det rör sig med konstant hastighet. Alltså svävar du i tyngdlöst tillstånd och är i vila. Om du tittar ut ser du hur galaxen flyger förbi i 0,5 c.
Det korrekta sättet att beskriva det på är att du är i vila ombord på ett rymdskepp och att vår galax rör sig med halva ljushastigheten förbi skeppet.
Det är samma sak om du sitter i en bil som rör sig rakt fram i den konstanta hastigheten 100 km/tim. Du sitter fastspänd med säkerhetsbälte och rör dig inte alls. Du är i vila. Det är vägen under bilen som rör sig i 100 km/tim i förhållande till dig. Om du tar fram ett par bollar och börjar jonglera beter sig bollarna likadant oavsett om bilen står parkerad, eller den kör i 100 km/tim. Fysikens lagar är desamma.

Vi tar ett sista exempel för att ni verkligen ska förstå:
Bertil är i ett rymdskepp som inte accelererar, han är i vila och svävar i tyngdlöst tillstånd.
Plötsligt möter han Cesar som är i ett annat rymdskepp. Cesars rymdskepp accelererar inte heller så han är också i vila och svävar i tyngdlöst tillstånd.
Men eftersom de möts måste de två rymdskeppen ha olika hastighet, olika velocitet.
Hade de haft samma hastighet hade de två skeppen svävat bredvid varandra och Bertil kunde ha tagit en rymdpromenad över till Cesars skepp för att dricka en kopp kaffe (det är dock lite svårt att dricka i tyngdlöst tillstånd).
Nu rör de sig i förhållande till varandra. Bertil tycker att han är i vila och att det är Cesar som rör sig i förhållande till honom. Men Cesar tycker att det är han som är vila och att det är Bertil som rör sig.
Faktum, som vi senare kommer att se, är att de inte är ense om någonting: inte var någonting är, inte hur fort något rör sig, inte vad klockan är… allt är relativt… utom ljushastigheten.

Bonus

När Einstein publicerade den allmänna relativitetsteorin 1915 sa han:
Om man är i ett rum utan fönster kan man inte avgöra om rummet står still på jorden, eller om rummet befinner sig på ett rymdskepp som accelererar i 9,81 m/s², vilket är precis lika mycket som gravitationen här på jorden.
Nu ljög jag, vad han egentligen sa var:
Om man befinner sig i ett rum utan fönster och plötsligt blir tyngdlös, kan man inte avgöra om rummet är en hiss som fått kablarna avklippta och faller mot marken, eller om rummet är på rymdskeppet som plötsligt stängt av sina motorer så man slutar accelerera och börjar röra sig i konstant hastighet.
Det enda Einstein gjorde var att expandera invariansprincipen med faktumet att det inte finns något sätt att skilja mellan gravitation och acceleration. Men att räkna med acceleration och gravitation är komplicerat så vi lämnar det nu.

Ljushastighetens konstans

Jag sa tidigare att allt är relativt, utom ljushastigheten.
Låt oss återgå till Einsteins andra postulat. Einstein säger att ljusets hastighet är konstant 300000 km/s för alla observatörer. Det låter inte konstigt tills man inser vad det betyder. Låt oss ta ett exempel:
Adam står på en tågstation. Bertil står på ett tåg som åker förbi stationen i 100 km/tim. Bertil har en pilbåge och kan skjuta pilar i 200 km/tim (vi ignorerar luftmotstånd, så pilarna lämnar alltid Bertils pilbåge i 200 km/tim).
När tåget åker mot stationen skjuter Bertil en pil framåt mot stationen. Adam tycker att pilen kommer mot honom i (tågets hastighet 100 km/tim + pilens hastighet 200 km/tim) = 300 km/tim. Eftersom pilen rör sig med tåget lägger man ihop hastigheterna.
När tåget passerat stationen skjuter Bertil en pil bakåt mot stationen. Adam tycker att pilen kommer mot honom i (pilens hastighet 200 km/tim – tågets hastighet 100 km/tim) = 100 km/tim. Eftersom pilen rör sig mot tåget drar man av hastigheterna.

Det var förhoppningsvis enkelt. Så länge som man har normala hastigheter för bilar, tåg och flyg är det bara att lägga till och dra ifrån hastigheter för att få den totala hastigheten. Nu komplicerar vi lite.
Adam står på en tågstation. Bertil står på ett tåg som rör sig i halva ljushastigheten, 0,5 c. Bertil har en ficklampa som han kan lysa med. Oavsett åt vilket håll han riktar ficklampan lämnar ljuset lampan i ljusets hastighet 300000 km/s, för ljusets hastighet är konstant.
När tåget åker mot stationen lyser Bertil på stationen. Adam tycker inte att ljuset kommer mot honom i 1,5 c, utan i 300000 km/tim, för ljusets hastighet är konstant och man ignorerar tågets hastighet.
När tåget passerat stationen lyser Bertil på stationen. Adam tycker inte att ljuset kommer mot honom i 0,5 c, utan i 300000 km/tim, för ljusets hastighet är konstant och man ignorerar tågets hastighet.

Nu blev det komplicerat, så vi tar det en gång till:
Bertil och Cesar åker i varsitt rymdskepp och rör sig mot varandra i halva ljushastigheten, 0,5 c. Samtidigt lyser de på varandra med varsin ficklampa.
Bertil tycker att han är i vila och att det är Cesar som närmar sig i 0,5 c. Samtidigt tycker han att både hans och Cesars ljusstrålar rör sig i hastigheten c, men åt olika håll.
Cesar tycker att han är i vila och att det är Bertil som närmar sig i 0,5 c. Samtidigt tycker han att både hans och Bertils ljusstrålar rör sig i hastigheten c, men åt olika håll.

Den 4-dimensionella rumtiden

Detta betyder att att två observatörer som rör sig i förhållande till varandra inte kommer att vara överens om någonting, inte hur fort saker rör sig, var saker är i rummet, eller hur mycket klockan är – utom en sak där de är helt överens: ljusets hastighet är alltid konstant c.
Det här låter ju helt koko bongo! Hur kan man inte vara överens om någonting, men samtidigt vara överens om att ljusets hastighet alltid är c?
Jo, säger Einstein, det beror på att vi lever i den 4-dimensionella rumtiden.
BOOM!
Där flög topplocket iväg för många av våra läsare.
Låt oss sakta skruva fast topplocket igen, en dimension i taget.

De första dimensionerna

0. En punkt har 0 dimensioner, den är dimensionslös. Om en fluga står på punkten kan den inte gå någonstans, utan den är fast vid punkten. Man kan tycka att zoomar man in på punkten, t.ex. tittar på den i ett förstoringsglas, att den liknar en liten cirkel. Men cirkeln finns bara där för att vi ska se var punkten är: mitt i cirkeln. Egentligen har punkten ingen bredd eller höjd och fortsätter att vara en punkt oavsett hur mycket vi zoomar in. den har inga dimensioner.
1. Nu drar vi en linje från punkten. Nu kan en fluga gå fram och tillbaka på linjen. Vi har en sträcka, som har en dimension: fram och tillbaka. Man kan tycka att zoomar man in på sträckan ser den ut som en liten väg, men vägen finns bara där för att vi ska kunna se linjen mitt i vägen. En sträcka har ingen bredd och fortsätter att vara en tunn linje oavsett hur mycket man zoomar in.
2. Nu tar vi linjen och drar den åt sidan så vi får en yta. Tänk dig att du putsar fönster; först sprejar du fönstret med fönsterputs, sedan sätter du fönsterskrapan mot fönstret så det bildas en tunn linje på glaset där du sprejat, sedan drar du fönsterskrapan så det bildas en ren yta. Är du duktig har du skapat en kvadrat på fönstret med fönsterskrapan. Om en fluga sätter sig på den nyskrapade ytan kan den gå vänster-höger (en dimension), eller upp-ner (en andra dimension), eller vilken kombination som helst av vänster-höger och upp-ner, diagonalt, över ytan. En yta har två dimensioner. Om du målar en fyrkant på ett papper och zoomar in på kanten av fyrkanten kan du se att färgen ligger som ett tjockt lager på pappret, det är bara för att du ska kunna se fyrkanten. En riktig yta har ingen tjocklek, ingen höjd.
3. Nu tar vi den tvådimensionella fyrkanten och drar den rakt upp mot oss så vi får en kub. Tänk dig att vi har en uppblåsbar luftmadrass. Innan man blåser upp den är den alldeles platt, 2-dimensionell. När man sedan blåser upp den får den en tredje dimension: upp-ner. Ett rum har tre dimensioner: det har höjd, bredd, djup. En fluga i rummet kan flyga vänster-höger, fram-tillbaka, upp-ner.

Säg att vi har ett rutat papper som vi tejpar fast på väggen. Dra en vågrätt linje från vänster till höger på pappret, vi kallar linjen för x-axeln. Dra en lodrätt linje uppifrån och ner, så det korsar den vågräta linjen, vi kallar den andra linjen för y-axeln och vi har gjort ett koordinatsystem. Punkten där de två strecken korsas kallas origo. Stå framför det upptejpade pappret, sätt fingret på origo, där x-axeln och y-axeln korsar varandra. Flytta sedan fingret fram och tillbaka mellan origo och och din näsa. Tänk dig att det går en tredje linje rakt ut från pappret, vi kallar den tredje linjen för z-axeln.
Man kan säga att x-axeln som går vänster-höger motsvarar den första dimensionen, y-axeln som går upp-ner motsvarar den andra dimensionen, z-axeln som går fram-tillbaka motsvarar den tredje dimensionen.
Även om vi dagligt tal brukar säga bredd, höjd och djup, brukar fysiker tala om x-, y-, och z-axeln.

Att blanda dimensioner

Säg att du tittar på en karta. Det kan vara en papperskarta, en karta på din datorskärm, eller i din mobil. Oavsett vad så är pappret, datorskärmen och mobilen platta. Kartan finns på en platt 2-dimensionell yta. Fastän kartan är 2-dimensionell kan den visa något 3-dimensionellt. En orienteringskarta har massor med höjdkurvor som visar var det finns berg och hur branta de är. Och är du ute i en båt använder du sjökort där man kan se hur djupt det är ner till botten så man inte går på grund. Det är inte alls konstigt att 2-dimensionella saker kan återge 3-dimensionella: foton är t.ex. 2-dimensionella ytor. Titta på vilket foto som helst i din mobil och du har inga problem att avgöra vad som är nära kameran och vad som är långt bort, d.v.s. var något är på den 3-dimensionella z-axeln.

Även om kartor kan simulera den tredje z-dimensionen så man får en känsla för djup, kan de även visa andra saker. Ta t.ex. en väderkarta över Sverige som visar hur varmt (eller kallt) det kommer att bli imorgon. Istället för att se var olika berg finns i Sverige ser man nu vad det kommer att vara för temperatur i Malmö, Stockholm och Kiruna. Faktum är att på en temperaturkarta är temperaturen den tredje dimensionen. På samma sätt kan man se hur mycket det ska blåsa, då blir vindhastigheten den tredje dimensionen, eller hur mycket det ska regna, då blir nederbörden den tredje dimensionen på kartan.

Man kan även tänka sig diagram där den vågräta x-axeln visar tid, t.ex. år, och den lodräta y-axeln kan visa saker som Sveriges inflation över tid, kronans växelkurs mot dollarn över tid, hur mycket ett barn växer från år till år, eller hur medeltemperaturen ändrats de senaste åren.
Du har säkert insett att om vi kan rita ett diagram med en tidsaxel så behandlar vi tiden som en dimension, precis som temperatur och nederbörd kan vara dimensioner.

Fyra dimensioner

Även om det är svårt att tänka sig fyra dimensioner är det inget problem matematiskt, det är bara att räkna med 4 olika enheter samtidigt. Ta väderkartan igen som visar hur varmt det ska bli, hur mycket det ska blåsa och var det ska regna: själva kartan är 2 dimensioner + 1 temperaturdimension + 1 vinddimension + 1 nederbördsdimension = 5 dimensioner!!!
Med rumtiden tänkte Einstein specifikt på de tre rumsdimensionerna + tiden som en fjärde dimension.
Det är inte så tokigt som det låter. Einstein tänkte att man beskriver världen i “händelser” där man använder de tre rumskoordinaterna (x, y, z) för att beskriver var något hände och den fjärde tidskoordinaten (t) för att säga när det hände.
Ex: när jag åt lunch idag såg jag årets första fiskmås sitta på vår skorsten. Händelsen är årets första fiskmås. Med de tre x-, y-, z-axlarna kan jag beskriva exakt var vår skorsten är och med t-axeln kan jag beskriva exakt när jag såg fiskmåsen.

Det som däremot gör det krångligt är att Einstein säger att anledningen till att alla alltid tycker att ljusets hastighet är c beror på att själva rumtiden förvrids så att ljushastigheten förblir konstant. En liknelse är att precis som en tvådimensionell karta kan beskriva den tredimensionella världen, kan en tredimensionell tvättsvamp beskriva den fyrdimensionella rumtiden. En tvättsvamp kam man pressa samman och vrida ur, på ett liknande sätt kan rumtiden pressas samman och förvridas så att ljushastigheten förblir konstant.
För att förklara detta måste vi tyvärr blanda in lite matematik.

Lorentztransformationen

Innan vi fortsätter måste jag förklara vad Lorentztransformation, längdkontraktion och tidsdilatation är för något och hur man använder dem.
Jag sa tidigare att rumtiden kan liknas med en tvättsvamp som man pressar ihop. Lorentztransformationen är en ekvation som räknar fram ett värde, Gamma, som talar om hur mycket rumtiden pressas ihop. Eftersom rumtiden består av både rum och tid delar man upp den och kallar det som händer i rummet för längdkontraktion och det som händer i tiden för tidsdilatation. Jag tror det blir enklare om jag visar med ett exempel:

Om ett rymdskepp rör sig i hastigheten 0,87 c är Gamma nästan exakt 2 för rymdskeppet (exakt varför Gamma blir 2 ska jag förklara om en liten stund). Gamma 2 betyder allt man ser blir hälften så långt i färdriktningen (längdkontraktion) och allt man ser går hälften så snabbt (tidsdilatation). Hade det varit Gamma 3 hade det varit en tredjedel så långt och en tredjedel så snabbt.
Säg att Bertil och Cesar närmar sig varandra med 0,87 c.
Bertil svävar runt i sitt rymdskepp och tycker att allt är normalt, men han tycker att Cesars rymdskepp är hälften så långt i färdriktningen, men har sin vanliga längd i alla andra riktningar. Det ser tillplattat ut. Samtidigt tycker han att Cesars klocka går hälften så snabbt.
Cesar svävar runt i sitt rymdskepp och tycker att allt är normalt, men han tycker att Bertils rymdskepp är hälften så långt i färdriktningen, men har sin vanliga längd i alla andra riktningar. Det ser tillplattat ut. Samtidigt tycker han att Bertils klocka går hälften så snabbt.
Och som grädde på moset tycker bägge att ljuset från varandras ficklampor rör sig i ljusets hastighet c.

E = mc²

Först: den korrekta formeln är E² = p²c² + m²c⁴. Det är egentligen en sammanslagning av två formler: E = pc och E = mc², där pc har med ljus att göra och mc² har med massa att göra (det vi i dagligt tal och felaktigt kallar vikt).
Förutom längdkontraktion och tidsdilatation finns en tredje effekt från Einsteins formel E = mc² som gör att saker blir tyngre. Gamma 2 gör att saker blir hälften så långa, tiden går hälften så snabbt och att de blir dubbelt så tunga. Men Einsteins formel säger att massa och energi är samma sak, när något får mer massa får det samtidigt mer energi. Men man kan lika gärna vända på det: det krävs energi för att accelerera till en högre hastighet och då energi är massa får man samtidigt mer massa. Det är inte så att den ena synsättet är fel och det andra är rätt, det är bara så att energi är massa och massa är energi. De är samma sak.
Då massan inte orsakar några paradoxer så behöver vi inte ha med det i några exempel.

Elektromagnetisk strålning

Många brukar undra över att om allt ändrar storlek, tid och massa vid höga hastigheter – händer det verkligen ingenting med ljuset alls?
Jo, det händer faktiskt en sak med ljuset.
Ljus består av fotoner som är både ljuspartiklar och ljusvågor samtidigt, detta kallas ljusets dubbelnatur. I laboratorier finns det lampor som kan skicka ut en foton åt gången och det finns kameror som kan registrera en foton åt gången. Men mellan lampan och kameran är fotonen inte en partikel, utan en våg. Innan man tycker att fotoner, som är både partiklar och vågor, är väldigt speciella, bör man veta att detta gäller alla små partiklar. Elektroner är t.ex. också både partiklar och vågor samtidigt.
Först trodde man att ljusvågor fungerade som ljudvågor: om man ändrar frekvensen på ljudvågor så ändras tonen. Fler vågor per sekund, kortare vågor, ger en högre pipigare ton. Färre vågor per sekund ger en lägre dovare ton. Och ju större vågorna är desto mer låter det, högre volym, medan mindre vågor är tystare, lägre volym.
Ljus fungerar lite annorlunda: kortare ljusvågor ger blåare ljus och längre ljusvågor ger rödare ljus – det är inte så svårt att förstå. Men starkare ljus fungerar inte som vi tror. Om en lampa lyser med ett starkt sken har det inte hänt något med vågorna, bara att den starkare lampan skickar ut fler fotoner än en svagare lampa. Istället är det så att blåare ljus är mer energirikt än rödare ljus. Kom ihåg att blått ljus har mer energi än rött. Det är därför vi blir solbrända: ultraviolett ljus har ännu kortare våglängd än blått ljus, har därför ännu mer energi och därför behöver huden bli brun för att skydda sig mot den extra energin för att inte bli bränd.

När vi talar om ljus brukar vi mena det ljus vi kan se: rött, gult, grönt, blått. Men det finns ljus som vi inte kan se: ultraviolett har kortare våglängd än blått ljus och infrarött har längre våglängd än rött ljus och vi kan varken se ultraviolett eller infrarött ljus. Det synliga ljuset är bara en pytteliten del av det vi kallar elektromagnetisk strålning:
Längst vågor / minst energi:
Den kosmiska bakgrundsstrålningen (resterna från Big Bang)
Radiovågor (radio, TV, mobil)
Mikrovågor
Infrarött ljus
Synligt rött ljus
Synligt grönt ljus
Synligt blått ljus
Ultraviolett ljus
Röntgenstrålning
Gammastrålning
Kortast vågor / mest energi
Så en mobil fungerar genom att skicka ut och ta emot väldigt energifattiga fotoner. Och röntgenstrålning är farligare än ultraviolett strålning för fotonerna är energirikare.

Dopplereffekten

Om du någon gång hört sirenerna från ett utryckningsfordon, t.ex. ambulans, vet du att sirenerna låter pipigare när de kör mot dig och dovare när de kör från dig: wiiieeeuuuoooååååm. Detta beror på att ljudvågorna pressas ihop när de rör sig mot dig och kortare vågor ger pipigare ljud, medan de dras ut när de kör från dig och längre ljudvågor ger dovare ljud.
Samma sak händer med ljus: ljus från någon som rör sig mot dig pressas samman och får kortare våglängd och blir blåare. Och ljus från någon som rör sig bort från dig dras ut och får längre våglängd och blir rödare. Detta används av astronomer för att räkna ut avstånd till avlägsna galaxer: ju avlägsnare en galax är desto snabbare rör den sig bort från oss och desto rödare blir den. Detta kallas rödförskjutning, motsatsen kallas blåförskjutning och ses t.ex. från vår granngalax, Andromeda, som kommer att krocka med vår galax Vintergatan om c:a 4,5 miljarder år. Det är också därför som det nya rymdteleskopet James Webb kan se längre än det gamla rymdtelsskopet Hubble. James Webb ser bara infrarött ljus, inte vanligt ljus som Hubble. Det betyder att den har lättare att se det rödförskjutna ljuset från avlägsna galaxer och ser därför saker längre bort.

Sammanfattning vad som händer med ljus (och massa)
För att sammanfatta: om någon rör sig emot dig i en hastighet nära ljusets ökar dess massa (och därmed energi). Skickar denne ut en ljusstråle mot dig kommer ljusstrålen träffa dig i ljusets hastighet, men ljusvågorna kommer ha pressats ihop och blivit blåare och därmed energirikare. Om någon rör sig bort från dig och skickar ut ljus kommer ljuset fortfarande träffa dig i ljusets hastighet, men ljusvågorna kommer att ha dragits ut, blivit rödare och energifattigare.
Ytterligare en sak: något som har massa kan aldrig röra sig i ljusets hastighet. Om man försöker accelerera något till nära ljusets hastighet kommer det att krävas exponentiellt mer och mer energi och för att komma upp i ljusets hastighet krävas oändligt mycket energi – det är mer energi än vad som finns i hela universum. Ljus å andra sidan saknar massa och kan inte röra sig i någon annan hastighet än c. Av vad jag vet finns det ytterligare en sak som kan röra sig i ljusets hastighet: gravitationsvågor som också saknar massa.
Men nu lämnar vi rödförskjutning, blåförskjutning och massa, för de behövs inte för att förklara tvillingparadoxen.

Avancerad matematik

Om du inte tycker om Pythagoras sats kan du hoppa över denna del.
Låt oss börja med en rektangel, det är en fyrhörning med 4 rätvinkliga hörn.
Ta ett vanligt A4-papper: alla hörnen är rätvinkliga. De flesta golvytor, väggytor, fönster och dörrar är rektanglar.
Ta ett A4-papper. Kalla längden på kortsidan för x och längden för den långa sidan för y (tänk x-, och y-axel).
Dra ett streck från ena hörnet till motsatt hörn. Strecket är papprets diagonal. Kalla diagonalens längd för d.
Om man klipper längs diagonalen får man två likadana rätvinkliga trianglar som man kan använda Pythagoras sats på, men vi kan lika gärna använda Pythagoras direkt på rektangeln utan att klippa: formeln är: d² = x² + y².
Om man vill veta längden på diagonalen tar man roten ur bägge sidor: d = √(x² + y²).
Exempel: om x = 3 och y = 4, blir d = 5.
Men Pythagoras sats fungerar lika bra i flera dimensioner: d = √(x² + y² + z²)
Exempel: vi har en låda som är 1 m hög, 2 m bred, 2 m djup, vad är diagonalen? x = 1, y = 2, z = 2, ger d = 3.
Faktum är att samma formel gäller för alla dimensioner, men den 4-dimensionella rumtiden ställer till ett litet problem: x-, y-, och z-axlarna är längdenheter som mäts i meter, men t-axeln är en tidsenhet som mäts i sekunder. Vad är 1 m + 1 s? Finns det något sätt att göra om tid till längd?
Om en bil kör 1 timme (tid) i 100 km/tim (hastighet) kommer den 100 km (längd). Så: tid * hastighet = längd. Men vilken hastighet ska vi använda? Vad sägs om ljusets, c?
Faktum är att det är nästan så enkelt, förutom att det dyker upp ett minustecken:
d = √(x² + y² + z² – (ct)²)
eller:
d = √(x² + y² + z² – c²t²)
Varför blir det ett minustecken? För att vi inte längre räknar med euklidisk geometri, utan hyperbolisk.
Ett enklare sätt att förklara är att det är +(ict)² och i² = -1.
Vad betyder d i den 4-dimensionella rumtiden? Kommer ni ihåg att Einstein tänkte sig 4-dimensionella “händelser”? Det är avståndet mellan två händelser.
Vi behöver inte gå in på när man ska använda ekvationen, det intressanta för oss är att man kan härleda Lorentztransformationen från den.
Något annat som är intressant är att minustecknet gör att d kan vara positivt, 0, eller negativt.
Om d är 0 betyder det att de två händelserna förhåller sig till varandra att en ljusstråle precis tar sig från den första händelsen till den andra händelsen.
Om d är negativt betyder det att man kan ta sig mellan händelserna i underljudsfart.
Om d är positivt betyder det att enda sättet att ta sig mellan händelserna är i överljusfart, vilket är fysiskt omöjligt enligt Einstein.

Gamma

Åter till Lorentztransformationens ekvation:

Gamma = 1/ROT)

γ = 1/√(1-(v²/c²))

Du behöver inte förstå hur man räknar med ekvationen, men om du förstår kan du själv räkna ut Gamma.

Låt oss gå igenom variablerna i ekvationen:
Gamma är den grekiska bokstaven γ och kallas även Lorentzfaktorn. Det är vad vi vill räkna ut vid en specifik hastighet.
För varje hastighet v kan man räkna ut Gamma.
Slutligen har vi med c, ljusets hastighet.

Det är enklare att räkna med hastigheten v som en del av ljushastigheten. om något rör sig i halva ljushastigheten är det enklare med 0,5 c, istället för 150000 km/s.

Jag sa tidigare att 0,87 c gav ungefär 2.
0,87 c ger Gamma 2,028, vilket är lite mer.
0,866 c ger Gamma 1,9998, vilket är lite mindre.
Exakt Gamma 2 fås om hastigheten är roten ur 0,75.

Gamma vid olika hastigheter

0,01 c => Gamma 1,00005
0,1 c => Gamma 1,005
0,5 c => Gamma 1,1547
0,6 c => Gamma 1,25
0,7 c => Gamma 1,4
0,8 c => Gamma 1,667
0,867 c => Gamma 2,007
0,943 c => Gamma 3,005
0,969 c => Gamma 4,05
0,980 c => Gamma 5,03
0,990 c => Gamma 7,09
0,999 c => Gamma 22,37
1 c => ERROR!!!

Som ni ser är Gamma knappt märkbart för hastigheter under 0,1 c, för att sedan stiga jättesnabbt för hastigheter över 0,9 c.
Observera att försöker man åka i ljusets hastighet, v = c, så måste man dela med noll i ekvationen, och det kan man inte.

Verkligheten

Nu har vi räknat ut Gamma och ser att det ger jättekonstiga effekter för Adam, Bertil och Cesar när de rör sig i rymdskepp nära ljusets hastighet, men det är ju bara hittepå och det finns inga rymdskepp som kan röra sig nära ljusets hastighet. Hur vet vi att Einstein hade rätt?

En jättebra fråga, men tyvärr måste jag krångla till det hela lite. Kommer ni ihåg att den speciella relativitetsteorin är ett specialfall av den allmänna relativitetsteorin? Det betyder att om man lyckas bevisa den allmänna relativitetsteorin har man samtidigt bevisat den speciella. Det betyder att de första bevisen var för den allmänna relativitetsteorin:

Merkurius bana

Redan för ett par hundra år sedan kunde vi räkna ut jordens exakta bana runt solen och månens exakta bana runt jorden med Newtons ekvationer: den klassiska fysiken. Faktum är att för alla rymdresor till månen och mars, Jupiter och Pluto som vi genomfört har det räckt med Newtons ekvationer. Med ett undantag: Merkurius bana runt solen. Merkurius är den planet som är närmast solen och länge trodde man att det fanns en planet innanför Merkurius som störde Merkurius bana. Men när Einstein 1915 kunde räkna ut Merkurius bana exakt med hjälp av den allmänna relativitetsteorin så visste han att hade rätt. Förklaringen är att Merkurius är så nära solen att man måste räkna med solens gravitation.

Solförmörkelsen 1919

Nästa bevis kom när man fotograferade en solförmörkelse och kunde se stjärnor bredvid solen som borde ligga dolda bakom solen, men vars ljus hade blivit böjt av solens gravitation så det såg ut som de låg bredvid. Effekten kallas gravitationslins och du kan själv se fenomenet om du bildgooglar “einstein ring” och “einstein cross”, men nu är det inte stjärnor bakom stjärnor, utan galaxer långt bort som får sitt ljus böjt av galaxer framför.

Kartor och GPS

Nästa bevis finns antagligen i din ficka, eller rent utav i din hand: en vanlig mobiltelefon. Alla mobiltelefoner idag har kartprogram och med hjälp av GPS kan man se exakt var man är på en meter när. Positionsbestämningen går till så att mobilen använder “triangulering” mellan flera GPS-satelliter³ för att beräkna var man är i förhållande till satelliterna. Problemet är att det är lite lägre gravitation uppe hos satelliterna än nere på jorden (ju längre bort från jorden, desto svagare blir jordens gravitation). Även om skillnaden är minimal är den tillräckligt stor för att det ska uppstå relativistiska effekter som tidsdilatation. Kort sagt går GPS-satelliternas klockor lite snabbare än här nere på jorden. Om inte din mobiltelefon korrigerar för skillnaden i tid kommer kommer snabbt din position i kartprogrammet visa fel. Vi pratar ett hundratal meter fel efter bara någon dag.

³ I ärlighetens namn använder mobiler både GPS-satelliter och mobilmaster för att räkna ut var man är, men finns det inge mobilmaster i närheten kan mobilen fortfarande bestämma var man är bara med hjälp av satelliterna.

Men finns det några bevis där man bara har den speciella relativitetsteorin och inte den allmänna? Jo, det finns.

Magnetism runt elektriska ledningar

Om man har en vanlig orienteringskompass och lägger den bredvid en elektrisk ledning (helst en ledning med likström, som för mobilladdare, inte vanlig växelström som i vägguttag), så beter sig kompassnålen väldigt konstigt. Det beror på att det bildas ett magnetfält runt en kopparledning som det går ström i. Magnetfältet kan förklaras med den speciella relativitetsteorin: ström är elektroner som rör sig jättesnabbt i en ledning, faktum är att de rör sig så snabbt att det uppstår relativistiska effekter som tidsdilatation och längdkontraktion mellan elektronerna och ledningen. Magnetfältet är ett direkt resultat av de relativistiska effekterna från elektronerna.

Muoner

Vid CERN, på gränsen mellan Frankrike och Schweiz, finns världens största partikelaccelerator: LHC. Det är en jättestor ring, mer än 5 km i diameter, på mer än 100 m djup. Här accelererar man protoner åt varsitt håll i ringen och låter dem kollidera i en hastighet av 0,99999999 c ( 8 st 9:or), vilket ger Gamma på runt 7000. När de kolliderar blir det en väldig explosion – på atomnivå. Vid kollisionen bildas det massor med exotiska partiklar som vi inte kan studera någon annanstans. En av dessa partiklar är Muonen, som kan beskrivas som en jättestor elektron (c:a 200 gånger större) med en livstid på c:a 2 mikrosekunder.
Det finns faktiskt en annan plats där det bildas exotiska elementarpartiklar: högt upp i vår atmosfär när kosmisk strålning träffar jorden. Vi bombarderas hela tiden av protoner från rymden, som exploderar när de träffar våra yttersta luftmolekyler och det bildas exotiska partiklar som muoner. Nu är muonens livslängd så kort att den hinner inte ner till jordens yta innan den slutar att existera, vilket gör det lite svårt för oss att detektera muoner. Döm om vår förvåning när vi ändå kunde detektera muoner här nere. Förklaringen är att de rör sig så snabbt att det får relativistiska effekter: Dels längdkontraktion, muonen tycker att avståndet ner till jorden är mycket kortare. Dels tidsdilatation, muonens livslängd blir mycket längre. Tillsammans gör dessa två att Muonen hinner ner till jordens yta innan dess livstid tar slut.